[网络流][最大点权独立集] 方格取数

预备知识：

点覆盖集：无向图G的一个点集，使得该图中所有边都至少有一个端点在该集合内。
最小点权覆盖集：在带点权无向图G中，点权之和最小的覆盖集。
点独立集：无向图G的一个点集，使得任两个在该集合中的点在原图中都不相邻。
最大点权独立集：在带权无向图G中，点权之和最大的独立集。

// 定理：
// 1. 最小点权覆盖集=最小割=最大流
// 2. 最大点权独立集=总权-最小点权覆盖集
// 解题:
// 1. 先染色，取一个点染白色，和它相邻的点染黑色
// 2. 每个白点向它相邻的黑点连一条边，容量为 inf (无穷大)
// 3. 增加源点S，向每一个白色点连一条边，容量为白点的权
// 4. 增加汇点T，每个黑点向T连一条边，容量为黑点的权
// 5. 求MaxWVIS = TotalFlow - MaxFlow

以下摘自网络流24题解析

【建模分析】
这是一个二分图最大点权独立集问题，就是找出图中一些点，使得这些点之间没有边相连，这些点的权值之和最大。
独立集与覆盖集是互补的，求最大点权独立集可以转化为求最小点权覆盖集（最小点权支配集）。
最小点权覆盖集问题可以转化为最小割问题解决。
结论:最大点权独立集 = 所有点权 - 最小点权覆盖集 = 所有点权 - 最小割集 = 所有点权 - 网络最大流。
对于一个网络，除去冗余点（不存在一条ST路径经过的点），每个顶点都在一个从S到T的路径上。
割的性质就是不存在从S到T的路径，简单割可以认为割边关联的非ST节点为割点，而在二分图网络流模型中每个点必关联到一个割点（否则一定还有增广路，当前割不成立），
所以一个割集对应了一个覆盖集（支配集）。最小点权覆盖集就是最小简单割，求最小简单割的建模方法就是把XY集合之间的变容量设为无穷大，此时的最小割就是最小简单割了。
有关二分图最大点权独立集问题，更多讨论见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》作者胡伯涛。

我的理解

大致意思，要求一个带点权的无向图的最大点权独立集，就是要求一些点，使得这些点之间没有边相连，这些点的权值之和最大。

先按无向图中的邻边关系建成二分图，然后增加源点S、汇点T并连边建成网络，边容量如上述。至此构图完成。

然后求最大流，求出的最小割的割边集的对应割点集（非S、T即可），就是最小点权覆盖集。

用所有点权减去它，就是最大点权独立集。

大致代码：

//   m*n的矩形
//  (i, j)    (i+j)%2int m, n;
int tot;
void read()     //  i*n+j、m*n、m*n+1
{tot = 0;scanf("%d%d", &m, &n);init(m*n+2);for(int i=0; i<m; i++)for(int j=0; j<n; j++){int t;  scanf("%d", &t);tot += t;if((i+j)%2) {addEdge(m*n, i*n+j, t);//(i, j)->(i, j+1)   //(i, j)->(i+1, j)if(j+1<n) addEdge(i*n+j, i*n+j+1, INF);if(i+1<m) addEdge(i*n+j, (i+1)*n+j, INF);if(j-1>=0) addEdge(i*n+j, i*n+j-1, INF);if(i-1>=0) addEdge(i*n+j, (i-1)*n+j, INF);}else {addEdge(i*n+j, m*n+1, t);/*                                          //在X的点会加这些边，不用重复。。if(j+1<n) addEdge(i*n+j+1, i*n+j, INF);if(i+1<m) addEdge((i+1)*n+j, i*n+j, INF);if(j-1>=0) addEdge(i*n+j-1, i*n+j, INF);if(i-1>=0) addEdge((i-1)*n+j, i*n+j, INF);*/}}
}
void solve()
{int f = maxFlow(m*n+2, m*n, m*n+1);printf("%d\n", tot-f);
}
int main()
{read();solve();
}

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