电磁场与仿真软件(13)

之前写的都是我对电磁波基本知识的一些总结,有些基本概念波阻抗和理念比如物理量算符等都是看CEM的基础,理解之后再看CEM会简单一些.这篇正式开始记录CEM学习笔记.主要参考的是Dr.Raymond Rumpf在youtube上的CEM课程和加上一些我自己的理解.

我们先从简单的一维电磁波开始看起,因为很多三维的问题,可以先用一维做近似计算,最终再到反推三维的设计.

把多层的介质展开,如下图,开始进行定量分析:

假设有一列沿着z方向传播的电磁波, 波的方程可以写成

$\vec{E}(\vec{r})=E_{0}e^{j\vec{k}\cdot \vec{r}}=E_{0}e^{jk_{x}x}e^{jk_{y}y}e^{jk_{z}z}$

注:

1. 教程上phasor直接写的是 $\vec{E}(r)$ 而不是我之前写的phasor形式 $\tilde{E}(r)$ ,后续我会跟着教程; 表达的意思都是一样的,因为研究的都是时谐信号,如果求完整波只要 $\times e^{j\omega t}$ 再取实部就可以乐.

2. 还有虚数教程写的是j，我之前一直写的i,后续我也会跟着教程写成j;

在X,Y方向上,介质是连续的,,只有在z方向会穿过各种介质

$\frac{\partial \vec E(\vec{r})}{\partial x}=jk_{x}\vec E(\vec{r})$ 可以得到 $\frac{\partial }{\partial x}=jk_{x}$ ，同理可以得到: $\frac{\partial }{\partial y}=jk_{y}$

但在z方向上,因为会经过各种介质,是不连续的(会有各种反射和透射),所以 $\frac{\partial }{\partial z}\neq jk_{z}$ ；

我们用上述关系式改写麦克斯韦方程:

$\bigtriangledown \times \vec{E}=-j\omega \mu \vec{H}, \bigtriangledown \times \vec{H}=j\omega \varepsilon \vec{E},$ $\mu =\mu _{0}\mu _{r}, \varepsilon =\varepsilon_{0}\varepsilon _{r},k_{0}=\omega \sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0} }$

定义一个normalized磁场分量: $\vec{\tilde{H}}=-j\sqrt{\mu_{0} /\varepsilon_{0} }\vec{H}$ 代入上式--我觉得是纯粹方便计算.

$\bigtriangledown \times \vec{E}=k_{0} \mu_{r} \vec{\tilde{H}}$

$\bigtriangledown \times \vec{\tilde{H}}=k_{0} \varepsilon_{r} \vec{E}$

把上面的两个式子展开，如下图:

然后把 $\frac{\partial }{\partial x}=jk_{x}$ 和 $\frac{\partial }{\partial y}=jk_{y}$ 代入上式,得到:

6个方程消去 $\tilde{H}_{z},\tilde{E}_{z}$ 得到4个方程:

得到如下4组方程:

写成矩阵形式:

上式可以简写成:

$\frac{\partial \Psi }{\partial {z}'}-\Omega \Psi =0$ 看起来很简单的微分方程,但 $\Psi$ 是4维向量, $\Omega$ 是4*4矩阵算符.

这个微分方程的通解是: $\Psi ({z}')=e^{\Omega {z}'}\Psi (0)$ 指数是矩阵,怎么计算的话,会在下一篇做详细介绍.

PS:在教程里,还有提到一件事,均匀材料中的矩阵算符如下:

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