哈密尔顿回路(旅行售货员问题)

哈密顿图（哈密尔顿图）（英语：Hamiltonian path，或Traceable path）是一个无向图，由天文学家哈密顿提出，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。在图论中是指含有哈密顿回路的图，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle），含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径。

由来

天文学家哈密顿(William Rowan Hamilton) 提出，在一个有多个城市的地图网络中，寻找一条从给定的起点到给定的终点沿途恰好经过所有其他城市一次的路径。
这个问题和著名的七桥问题的不同之处在于，过桥只需要确定起点，而不用确定终点。哈密顿问题寻找一条从给定的起点到给定的终点沿途恰好经过所有其他城市一次的路径

算法

哈密顿路径问题在上世纪七十年代初，终于被证明是“NP完备”的。据说具有这样性质的问题，难于找到一个有效的算法。实际上对于某些顶点数不到100的网络，利用现有最好的算法和计算机也需要比较荒唐的时间（比如几百年）才能确定其是否存在一条这样的路径。
从图中的任意一点出发，路途中经过图中每一个结点当且仅当一次，则成为哈密顿回路。
要满足两个条件：
⒈封闭的环
⒉是一个连通图，且图中任意两点可达
经过图（有向图或无向图）中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。
经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图，具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。

问题

旅行售货员问题又称TSP问题，问题如下：某售货员要到若干个城市推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费），他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍最后回到驻地的路线，使总的路线（或总的旅费）最小。数学模型为给定一个无向图，求遍历每一个顶点一次且仅一次的一条回路，最后回到起点的最小花费。
输入要求：
输入的第一行为测试样例的个数T（ T < 120 ），接下来有T个测试样例。每个测试样例的第一行是无向图的顶点数n、边数m（ n < 12，m < 100 ），接下来m行，每行三个整数u、v和w，表示顶点u和v之间有一条权值为w的边相连。（ 1 <= u < v <= n，w <= 1000 ）。假设起点（驻地）为1号顶点。
输出要求：
对应每个测试样例输出一行，格式为"Case #: W"，其中’#'表示第几个测试样例（从1开始计），W为TSP问题的最优解，如果找不到可行方案则输出-1。
样例输入：
2
5 8
1 2 5
1 4 7
1 5 9
2 3 10
2 4 3
2 5 6
3 4 8
4 5 4
3 1
1 2 10
样例输出：
Case 1: 36
Case 2: -1

代码

#include<iostream>
#define N 100
using namespace std;
int n,m,w,      //图的顶点数和边数 graph[N][N],   //图的加权邻接矩阵 c=0,       //当前费用 bestc=-1,     //当前最优值 x[N],      //当前解 bestx[N];    //当前最优解
void backtrack(int k);
void swap(int &a,int &b);
void swap(int &a,int &b)
{  int temp=a;  a=b;  b=temp;
}
void backtrack(int k)
{  if(k==n)  {  if( (c+graph[x[n-1]][x[n]]+graph[x[n]][1]<bestc||bestc==-1) && graph[x[n-1]][x[n]]!=-1 && graph[x[n]][1]!=-1 )  {  bestc=c+graph[x[n-1]][x[n]]+graph[x[n]][1];  for(int i=1;i<=n;i++)  {  bestx[i]=x[i];  }  }  return ;  }  else {  for(int i=k;i<=n;i++)  {  if( graph[x[k-1]][x[i]]!=-1 && (c+graph[x[k-1]][x[i]]<bestc || bestc==-1))  {  swap(x[i],x[k]);  c+=graph[x[k-1]][x[k]];  backtrack(k+1);  c-=graph[x[k-1]][x[k]];  swap(x[i],x[k]);  }  }  }
}
int main(void)
{ int i,j,tmp=1,testNum; cin>>testNum; while(tmp<=testNum) { cin>>n>>m; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) graph[i][j]=-1; for(int k=1;k<=m;k++) { cin>>i>>j>>w; graph[i][j]=w; graph[j][i]=w; } for(i=1;i<=n;i++) { x[i]=i; bestx[i]=i; } backtrack(2); cout<<"Case "<<tmp<<": "<<bestc<<endl; bestc=-1; c=0; tmp++; }   return 0;
}

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