基本概念

本文以《初等数论及其应用（原书第6版）》13.1 毕达哥拉斯三元组为基础。为叙述简便，把毕达哥拉斯三元组（Pythagorean Triples）称为勾股数。
另外，也可以参考《数学女孩2 费马大定理》第2章勾股定理。

本原勾股数 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)满足
x 2 + y 2 = z 2 x^2+y^2=z^2 x2+y2=z2

x , y , z ∈ Z + x,y,z \in Z^+ x,y,z∈Z+

G C D ( x , y , z ) = 1 GCD(x,y,z)=1 GCD(x,y,z)=1

( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)可以用以下公式推导， ( m , n ) (m,n) (m,n)在OEIS上称为the generator pairs of primitive Pythagorean triples。
x = m 2 − n 2 x=m^2-n^2 x=m2−n2

y = 2 m n y=2mn y=2mn

z = m 2 + n 2 z=m^2+n^2 z=m2+n2

其中 ( m , n ) (m,n) (m,n)满足
m , n ∈ Z + m,n \in Z^+ m,n∈Z+

m > n m>n m>n

G C D ( m , n ) = 1 GCD(m,n)=1 GCD(m,n)=1

m ̸ ≡ n ( m o d 2 ) ⇔ m + n ≡ 1 ( m o d 2 ) m \not\equiv n \pmod 2 \Leftrightarrow m+n \equiv 1 \pmod 2 m̸≡n(mod2)⇔m+n≡1(mod2)

本原勾股数 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)与符合上述条件的(m,n)是一一对应的。
最小值 ( m , n ) = ( 2 , 1 ) , ( x , y , z ) = ( 3 , 4 , 5 ) (m,n)=(2,1), (x,y,z)=(3,4,5) (m,n)=(2,1),(x,y,z)=(3,4,5)。

问题

给定m，有多少个n满足上述条件， ( m , n ) (m,n) (m,n)能生成本原勾股数？
定义n的个数为 a ( m ) a(m) a(m)。

举例

图1 给定m，能够生成本原勾股数的n及其个数 a ( m ) a(m) a(m)，包括特例 ( m , n ) = ( 1 , 0 ) (m,n)=(1,0) (m,n)=(1,0)，即 ( x , y , z ) = ( 1 , 0 , 1 ) (x,y,z)=(1,0,1) (x,y,z)=(1,0,1)。

图2 a ( m ) a(m) a(m)与 ϕ ( m ) \phi(m) ϕ(m)比较
.

(m,n) in OEIS

下面这两个数列是一对（序号相邻），从(m,n)=(2,1)开始。
http://oeis.org/A094192
Values x of the generator pairs (x, y), x>y of primitive Pythagorean triples, sorted.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12,
http://oeis.org/A094193
Values y of the generator pairs (x, y), x>y of primitive Pythagorean triples, sorted on x.
1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 5, 2, 4, 6, 1, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 3, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10, 1, 5, 7, 11,

分析

a ( m ) < = m − 1 a(m)<=m-1 a(m)<=m−1因为 1 ≤ n < m 1 \le n < m 1≤n<m。
m和n互质。如果只考虑这两个条件，就是 ϕ ( m ) \phi(m) ϕ(m)。
参见《初等数论及其应用（原书第6版）》7.1欧拉函数。
还有一个条件m和n奇偶性不同，这点是欧拉函数没有的。所以 ( m , n ) (m,n) (m,n)的条件比欧拉函数严格， a ( m ) ≤ ϕ ( m ) a(m)\le\phi(m) a(m)≤ϕ(m)。
如果m是偶数，所有小于m的偶数（2…m-2)都不与m互质，欧拉函数计算的都是小于m且与m互质的奇数，符合欧拉函数的数同样也满足 ( m , n ) (m,n) (m,n)的条件，所以 a ( m ) = ϕ ( m ) a(m)=\phi(m) a(m)=ϕ(m)。
如果m是奇质数， ϕ ( m ) = m − 1 \phi(m)=m-1 ϕ(m)=m−1，其中奇偶各半。剔除奇数保留偶数， a ( m ) = ϕ ( m ) / 2 = ( m − 1 ) / 2 a(m)=\phi(m)/2=(m-1)/2 a(m)=ϕ(m)/2=(m−1)/2。
如果m是奇合数，上面一点同样适用，欧拉函数中奇偶各半， a ( m ) = ϕ ( m ) / 2 < ( m − 1 ) / 2 a(m)=\phi(m)/2<(m-1)/2 a(m)=ϕ(m)/2<(m−1)/2。注意，因为有系数1/2， a ( m ) a(m) a(m)不是乘性函数。

a(n) in OEIS

http://oeis.org/A055034
a(1) = 1, a(n) = phi(2*n)/2 for n>1.
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4,
注意这个数列是从 ( m , n ) = ( 1 , 0 ) (m,n)=(1,0) (m,n)=(1,0)开始的。和上面的分析相比，表述稍有差异，结果是一致的。
a ( n ) = ϕ ( 2 n ) / 2 f o r n > 1 a(n)=\phi(2n)/2 \ for\ n>1 a(n)=ϕ(2n)/2 for n>1
当n是奇数， ϕ ( 2 n ) = ϕ ( n ) , a ( n ) = ϕ ( n ) / 2 \phi(2n)=\phi(n), a(n)=\phi(n)/2 ϕ(2n)=ϕ(n),a(n)=ϕ(n)/2
当n是偶数， ϕ ( 2 n ) = 2 ϕ ( n ) , a ( n ) = ϕ ( n ) \phi(2n)=2\phi(n), a(n)=\phi(n) ϕ(2n)=2ϕ(n),a(n)=ϕ(n)

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