特殊的不定方程——毕达哥拉斯三元组(勾股数组)

毕达哥拉斯三元组：若正整数x,y,z满足下x^2+y^2=z^2.满足这个方程的正整数三元组被称为毕达哥拉斯三元组。

本原毕达哥拉斯三元组：若gcd(x,y,a)=1,则正整数三元组被称为本原毕达哥拉斯三元组。

定理：正整数x,y,z构成一个本原毕达哥拉斯三元组且y为偶数，当且仅当存在互素的正整数m,n(m>n),其中m为奇数，n为偶数，或者m为偶数，n为奇数。并且满足

x=m^2-n^2

y=2*m*n

z=m^2+n^2;

例题一：Fermat vs. Pythagoras(pku 1305)

给定一个整数n，分别求n范围内的(x,y,z<=n)本原毕达哥拉斯三元组的个数，以及n以内且毕达哥拉斯三元组不涉及的数的个数。

输入：输入数据有多组，每组数据占一行，包含一个整数n。

输出：对于每组输入，输出两个数分别代表n范围内(x,y,z<=n)本原毕达哥拉斯三元组的个数以及n以内且毕达哥拉斯三元组不涉及的个数。

Sample Input

10
25
100

Sample Output

1 4
4 9
16 27

分析：根据定理，本原毕达哥拉斯三元组满足

x=m^2-n^2

y=2mn

z=m^2+n^2

其中：m>n,且m为奇数，n为偶数，或者m为偶数，n为奇数。

那么所给范围内本原毕达哥拉斯三元组数，只需对m，n进行枚举即可。然后将三元组乘以i (保证i*z在所给的范围之内)，就可以求出所有的毕达哥拉斯三元组。

 #include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<cmath>#define N 1000010using namespace std;bool flag[N];///如果涉及毕达哥拉斯三元组，为1，否则为0；int gcd(int a,int b){if(b==0)return a;return gcd(b,a%b);}void solve(int t){int i;int x,y,z;int temp,m,n;int ans1=0,ans2=0;///ans1记录本原毕达哥拉斯三元组的组数，ans2记录不涉及数的个数memset(flag,0,sizeof(flag));///初始化temp=sqrt(t+0.0);///m，n的最大取值为根号tfor(n=1;n<=temp;n++){for(m=n+1;m<=temp;m++){if(m*m+n*n>t)break;if(n%2!=m%2){if(gcd(m,n)==1)///判断是否互素{x=m*m-n*n;y=2*m*n;z=m*m+n*n;ans1++;for(i=1;;i++){if(i*z>t)break;flag[i*x]=1;flag[i*y]=1;flag[i*z]=1;}}}}}for(i=1;i<=t;i++)if(flag[i]==0)ans2++;cout<<ans1<<" "<<ans2<<endl;}int main(){int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){solve(n);}return 0;}

例题二：Right-angled Triangle(fzu 1669)

求满足以a,b为直角边，c为斜边，且满足a+b+c<=L的直角三角形的个数。

输入：输入数据有多组，每组占一行，包含一个整数L(L<=2 000 000).

输出：每组输出一个正数即满足已知条件的直角三角形的个数

Sample Input

12
40

Sample Output

1
5

分析：根据定理，本原毕达哥拉斯三元组满足

x=m^2-n^2

y=2mn

z=m^2+n^2

其中：m>n,且m为奇数，n为偶数，或者m为偶数，n为奇数。

那么所给范围内本原毕达哥拉斯三元组数，只需对m，n进行枚举即可。然后将三元组乘以i(保证 i*(x+y+z)在所给的范围之内)倍，就可以求出所有满足条件的毕达哥拉斯三元组。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 1000005
using namespace std;
bool flag[N];
int gcd(int a,int b)
{if(b==0)return a;return gcd(b,a%b);
}
void solve(int t)
{int temp;int m,n;int x,y,z;int i,ans=0;///记录本原毕达哥拉斯三元组的个数，初始化为0memset(flag,0,sizeof(flag));///数组没啥卵用temp=sqrt(t+0.0);for(n=1;n<=temp;n++){for(m=n+1;m<=temp;m++){if(2*m*m+2*m*n>t)///x+y+z=2m^2+2mnbreak;if(n%2!=m%2){if(gcd(m,n)==1){x=m*m-n*n;y=2*m*n;z=m*m+n*n;for(i=1;;i++){if(i*(x+y+z)>t)break;ans++;}}}}}cout<<ans<<endl;
}
int main()
{int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){solve(n);}return 0;
}