本原勾股数的表示方法

2024-05-10 23:21:04

本文以《初等数论及其应用（原书第6版）》13.1 毕达哥拉斯三元组为基础。为叙述简便，把毕达哥拉斯三元组（Pythagorean Triples）称为勾股数。
另外，也可以参考《数学女孩2 费马大定理》第2章勾股定理。

本原勾股数

本原勾股数 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)满足

x 2 + y 2 = z 2 x^2+y^2=z^2 x2+y2=z2

x , y , z ∈ Z + x,y,z \in Z^+ x,y,z∈Z+

G C D ( x , y , z ) = 1 GCD(x,y,z)=1 GCD(x,y,z)=1

本原勾股数生成数对

( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)可以由生成数对 ( m , n ) (m,n) (m,n)来产生，并且一一对应。最小值 ( m , n ) = ( 2 , 1 ) , ( x , y , z ) = ( 3 , 4 , 5 ) (m,n)=(2,1), (x,y,z)=(3,4,5) (m,n)=(2,1),(x,y,z)=(3,4,5)。
( m , n ) (m,n) (m,n)在OEIS上称为the generator pairs of primitive Pythagorean triples。

x = m 2 − n 2 x=m^2-n^2 x=m2−n2

y = 2 m n y=2mn y=2mn

z = m 2 + n 2 z=m^2+n^2 z=m2+n2

m , n ∈ Z + m,n \in Z^+ m,n∈Z+

m > n m>n m>n

G C D ( m , n ) = 1 GCD(m,n)=1 GCD(m,n)=1

m ̸ ≡ n ( m o d 2 ) ⇔ m + n ≡ 1 ( m o d 2 ) m \not\equiv n \pmod 2 \Leftrightarrow m+n \equiv 1 \pmod 2 m̸≡n(mod2)⇔m+n≡1(mod2)

本原勾股数生成数对的和与差

除了生成数对本身，它的和与差也可以用来生成本原勾股数。
定义

s = m + n , d = m − n s=m+n, d=m-n s=m+n,d=m−n

s , d ∈ Z + s,d \in Z^+ s,d∈Z+

G C D ( m , n , s , d ) = 1 GCD(m,n,s,d)=1 GCD(m,n,s,d)=1

s ≡ d ≡ 1 ( m o d 2 ) s \equiv d \equiv 1 \pmod 2 s≡d≡1(mod2)
只需知道 m , n , s , d m,n,s,d m,n,s,d中任意两个就可以得到生成数对从而生成本原勾股数。

已知	m	n
m,n	m	n
s,m	m	s-m
s,n	s-n	n
m,d	m	m-d
n,d	n+d	n
s,d	(s+d)/2	(s-d)/2

Generator Pair in OEIS

Given any two of the four sequences below, primitive Pythagorean triangles can be generated.
A094192: the bigger one in generator pairs;
A094193: the smaller one in generator pairs;
A309424: the sum of generator pairs;
A309425: the difference of generator pairs.

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