最大乘积

【问题描述】

一个正整数一般可以分为几个互不相同的自然数的和，如3=1+2，4=1+3，5＝1+4=2+3，6=1+5＝2+4，…。现在你的任务是将指定的正整数n分解成若干个互不相同的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。

【输入格式】

只一个正整数n，(3≤n≤10000)。

【输出格式】

第一行是分解方案，相邻的数之间用一个空格分开，并且按由小到大的顺序。

第二行是最大的乘积。

【样例输入】           【样例输入】

10                          2 3 5

30

【问题分析】

怎么分解乘积最大？不妨设两个数为a, b, 那么，设 a = k + z, b = k - z

那么a * b = (k + z)(k-z) = k ^ 2 - z ^ 2

显然， 当 z 越小时， 两数乘积最大。

那么对于这道题目呢？

{ a, b 为整数，a,b 不相同}

那么也就是说当b = a + 1时 他们的乘积是最大的。

对于一个数 n 来说， 也就是 把它分解成 1， 2， 3， ... ， n(n+1)/2时乘积是最大的！？

但是 将他 分解出一个 1 好像并不会使乘积最大，相反的还会占用一个数的空间，所以我们选择

从 2 开始分解。

如： 9 = 2 + 3 + 4

8 = 2 + 3 + 4？

很快又发现问题了，2+3+4 > 8，那么我们就想一想 2+3 + 几 = 8

显然 这个叫几的东西 = 3。

那么这个 3 怎么办呢？

由题意每一个被分解出来的数都不相等， 那我们只能把这个 3 前面的 2 和 3 分别加上 1， 以保证 a, b间的差值最小。

此时分解出来的是 3,4,1 ， 第三个数 还剩下一个 1， 显然不能使乘积最大， 所以我们再次从后往前逐个加1， 知道第三个数为0.

从后往前加？

显然从前往后加会造成数字的重复。

接着用高精度来求乘积就好了(因为 n 最大为 10000)

【代码】

1 #include

2 #include

3

4 int n = 0, arr[200];5

6 std::vector ans; //high precision computation

7

8 inline void mulpty(const int&tmp) {9 int x = 0;10 for(int i = 0; i != ans.size(); i++) {11 ans[i] = ans[i] * tmp +x;12 x = ans[i] / 10;13 ans[i] %= 10;14 }15 while(x) {16 ans.push_back(x % 10);17 x /= 10;18 }19 }20 intmain() {21 scanf("%d", &n);22

23 for(int i = 1, sum = 0; ; i++) {24 arr[i] = i + 1;25 sum +=arr[i];26 if(sum == n) break;27 if(sum >n) {28 sum -=arr[i];29 arr[i] = n -sum;30 if(arr[i] <= arr[i-1]) {31 while(arr[i]) {32 for(int j = i - 1; j >= 1; j--) {33 if(!arr[i]) break;34 arr[j]++;35 arr[i]--;36 }37 }38 }39 break;40 }41 }42

43 for(int i = 1; arr[i] != 0; i++) {44 printf("%d", arr[i]);45 }46 ans.push_back(arr[1]);47 for(int i = 2; arr[i] != 0; i++) {48 mulpty(arr[i]);49 }50 printf("\n");51 for(int i = ans.size() - 1; i >= 0; i--) {52 printf("%d", ans[i]);53 }54

55 }

上面代码的arr数组表示分解出的数字，ans是用来求乘积的。