仿射，仿射集，子空间

学习凸优化的过程中，首先要接触到仿射集与凸集的定义，非常有必要完全理解。

文章目录

一、仿射集（Affine set），凸集（Convex set）定义
二、子空间(Subspace)
三、仿射包（affine hull）

关于锥、凸锥参看另一篇博文：https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/78828727

一、仿射集（Affine set），凸集（Convex set）定义

设 x1x_1x1 与 x2x_2x2 是定义在集合 CCC 中任意两个不同的点，即 x1≠x2x_1\neq x_2x1=x2, 并且 x1,x2∈C,C⊆Rnx_1, x_2\in C, C\subseteq \bf{R}^nx1,x2∈C,C⊆Rn，对任意一个实数 θ\thetaθ，都有
θx1+(1−θ)x2∈Corx2+θ(x1−x2)∈C\theta x_1+(1-\theta)x_2\in C\quad or\quad x_2+\theta(x_1-x_2)\in Cθx1+(1−θ)x2∈Corx2+θ(x1−x2)∈C
则称 CCC 为一个仿射集。若要求 0≤θ≤10\leq\theta\leq 10≤θ≤1，则 CCC 为一个凸集，可见一个仿射集必属于凸集（锥跟仿射集并没有隶属关系）。

仿射集的几何意义是：一个集合中任意两点的连线上的点仍然属于这个集合，则该集合为仿射集。个人感觉在三维空间内，整个坐标系才属于仿射集。

注：每一个线性方程组 Ax=bAx=bAx=b 的解为一个仿射集。

为什么称作仿射呢？定义 y=θx1+(1−θ)x2y=\theta x_1+(1-\theta) x_2y=θx1+(1−θ)x2，该表达式可以化为
y=x2+θ(x1−x2)y=x_2+\theta(x_1-x_2)y=x2+θ(x1−x2)
yyy 可以表示为通过基点 x2x_2x2，方向为 x1−x2x_1-x_2x1−x2，大小为 θ(x1−x2)\theta(x_1-x_2)θ(x1−x2) 的一个箭头的末端，如下图所示：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npplt.arrow(2, 3, 4, 8, width = 0.08, color = 'c', length_includes_head = True)plt.plot(2, 3, 'ro')
plt.annotate('$x_2$', xy = (2.2, 2.8))
plt.plot(5, 9, 'ro')
plt.annotate('$x_1$', xy = (5.2, 8.8))
plt.plot(6, 11, 'ro')
plt.annotate('$y=x_2+\\theta (x_1-x_2), \\theta = 2$', xy = (6.2, 10.8))
plt.xlim((0, 10))
plt.ylim((0, 16))
plt.show()

若 CCC 是一个仿射集，x1x_1x1, …\dots…, xk∈Cx_k\in Cxk∈C，并且 θ1+⋯+θk=1\theta_1+\dots+\theta_k=1θ1+⋯+θk=1，则
θ1x1+⋯+θkxk∈C\theta_1x_1+\dots+\theta_k x_k\in Cθ1x1+⋯+θkxk∈C
其中，θ1x1+⋯+θkxk\theta_1x_1+\dots+\theta_k x_kθ1x1+⋯+θkxk 称作点 x1,…,xkx_1, \dots, x_kx1,…,xk 的仿射组合。
若要求 θi≥0,i=1,…,k\theta_i\geq 0, i = 1, \dots, kθi≥0,i=1,…,k，则 θ1x1+⋯+θkxk\theta_1x_1+\dots+\theta_k x_kθ1x1+⋯+θkxk 称作点 x1,…,xkx_1, \dots, x_kx1,…,xk 的凸组合。

二、子空间(Subspace)

对于一个仿射集 CCC，及其内部任意一点 x0x_0x0，集合
V=C−x0={x−x0∣x∈C}V=C-x_0=\{x-x_0\mid x\in C\}V=C−x0={x−x0∣x∈C}
属于子空间（满足性质：零向量属于子空间，子空间内任意两个向量的加和，单向量与标量的乘积也在子空间里）。

子空间一般默认的是线性子空间，另外一个等价的定义为：

对于任意两个实数 aaa，bbb 及非空集合 SSS 中的任意两个向量 x\bm xx, y\bm yy，都有 ax+by∈Sa\bm x+b\bm y\in Sax+by∈S，则集合 SSS 可以称作线性子空间。

还有一个仿射子空间，仿射子空间可以视作将线性子空间移动。例如：在一个 n 维向量空间里，经过原点的一条线为一个线性子空间，而其他不经过原点的直线为仿射子空间。

下面的性质都是针对子空间：
性质1：一个子空间 VVV 为仿射集。
性质2：一个子空间 VVV 为凸锥。
性质3：一个子空间 VVV 为凸集。

证明：对于 VVV 中任意两点 v1v_1v1 与 v2v_2v2，它们的线性组合 αv1+βv2\alpha v_1+\beta v_2αv1+βv2，因为
αv1+βv2+x0=α(v1+x0)+β(v2+x0)+(1−α−β)x0∈C\alpha v_1+\beta v_2 + x_0= \alpha(v_1+x_0)+\beta(v_2+x_0)+(1-\alpha-\beta)x_0\in Cαv1+βv2+x0=α(v1+x0)+β(v2+x0)+(1−α−β)x0∈C
(因为 v1+x0∈Cv_1+x_0\in Cv1+x0∈C, v2+x0∈Cv_2+x_0\in Cv2+x0∈C, 仿射集定义)
所以 αv1+βv2∈V\alpha v_1+\beta v_2 \in Vαv1+βv2∈V，即一个子空间中任意两点的线性组合仍然属于该子空间。
特别的，我们令 α=1−β\alpha=1-\betaα=1−β，则根据仿射集定义，子空间属于一个仿射集。
特别的，我们令 α>0,β>0\alpha>0,\beta>0α>0,β>0，则根据凸锥的定义，子空间属于一个凸锥。
若我们令 α=1−β,0≤α≤1\alpha=1-\beta, 0\leq\alpha\leq 1α=1−β,0≤α≤1，则估计凸集定义，子空间属于一个凸集。
综合以上，子空间也属于凸锥。 □\Box□

一条直线是一个仿射集合，一个通过原点的直线属于子空间（证明过程类似上面）
注1：子空间为线性方程组 Ax=0 的解。
注2：若 xxx 属于子空间，那么 −x-x−x 也属于子空间。

三、仿射包（affine hull）

一个集合 CCC 内所有点的仿射组合，称作该集合的仿射包，即 aff CCC:
aff C={θ1x1+⋯+θkxk∣x1,…,xk∈C,θ1+⋯+θk=1}\text{aff}~ C=\{\theta_1x_1+\dots+\theta_kx_k\mid x1,\dots, x_k\in C, \theta_1+\dots+\theta_k=1\}aff C={θ1x1+⋯+θkxk∣x1,…,xk∈C,θ1+⋯+θk=1}