一.直线和线段

设为空间中的两个点。

直线：

线段：

二.仿射集（Affine Set）凸集（Convex Set）和锥（Cones）

仿射集

仿射集：通过集合中任意两个不同点的直线仍然在集合C中，则集合C是仿射的。即

也可以理解为C包含了C中任意两点的系数之和为1的线性组合。

仿射组合：把具有形式的点称为的仿射组合，其中。

仿射集推广：

一个仿射集合包含其中任意点的仿射组合。

仿射集的例子：

直线
平面
超平面

凸集

凸集：集合C中任意两点间的线段任然在C中，那么集合C便是凸集，即

凸组合：称点为点的一个凸组合，其中，且

凸集推广：

一个集合是凸集等价于集合包含其中所有点的凸组合。

例子：

（最左边是凸集，右边两个不是凸集，很简单，找出两个点，看看其线段是不是有不在集合上面就行了。）

仿射集合凸集关系：

因为仿射集的条件比凸集的条件强，所以仿射集必然是凸集。\

锥

锥：对于任意的和都有，那么就称集合C是是锥，即，

锥的例子：

（过原点的射线，射线族，角）

凸锥：集合C既是凸集又是锥，即对于任意和都有

锥组合（非负线性组合）：称点为点的一个锥组合，其中

三.仿射包、凸包和锥包

仿射包：由集合中的点的所有仿射组合组成的集合为C的仿射包，记为aff C：

也可以说，仿射包是包含C的最小的仿射集合。

仿射维数：

集合C的仿射维数为其仿射包的维数。
三角形的仿射维数为2
线段的仿射维数为1
球的仿射维数为3

凸包：集合C中所有点的凸组合的集合称为凸包，记为conv C：

也就是说集合C的凸包是能够包含C的最小的凸集。

锥包：集合C的锥包是C中元素的所有锥组合的集合。

也就是说，是包含集合C的最小凸锥。（如下图两个集合的锥包）

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凸优化笔记（一）：仿射集，凸集与锥

一.直线和线段

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线段：

二.仿射集（Affine Set）凸集（Convex Set）和锥（Cones）

仿射集

凸集

锥

三.仿射包、凸包和锥包

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