基于Matlab的车灯线光源优化设计的实施方案海南大学

Vol . 9 ,No . 4 高等数学研究

J ul . , 2006 　　　　　　　　　 STUD IES IN COLL E GE MA T H EMA TICS 107

数学建模

基于Matlab 的车灯线光源优化设计的实施方案

( )

欧宜贵 　李志林 　海南大学信息学院应用数学系 　海口 　570228

摘 要 　给出了2002 年全国大不生数学建模竞赛题“车灯线光源的优化设计”的实施方案, 说明计算机仿真

方法在数学建模中的有效性.

关键词 　数学建模; 计算机仿真; 优化设计; Matlab6 . 0 　　　　　　　中图法分类号 　O242 ; TP3 11

2002 年全国大学生数学建模竞赛题“车灯线光源的优化设计”是一道从实际问题提炼简化而

来的数学问题. 由于理论上的困难, 很难得到满足设计要求的最优长度的线光源[ 1] . 本文借助科学

运算语言 Mat lab60 , [ 2] 采用计算机仿真技术, 求得满足设计要求的近似最优线光源的长度, 体现

了数学建模中计算机仿真方法的重要性.

1 　问题重述

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面, 车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径 36

毫米, 深度2 1. 6 毫米. 经过车灯的焦点, 在与对称轴相垂直的水平方向, 对称地放置一定长度的均匀分

布的线光源. 要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度. 该设计规范在简化后可描述如下:

在焦点 F 正前方 25 米处的A 点放置一测试屏, 屏与 FA 垂直, 用以测试车灯的反射光. 在屏上

过 A 点引出一条与地面相平行的直线, 在该直线A 点的同侧取B 点和 C 点, 使A C = 2A B = 2 . 6 米.

( ) (

要求 C 点的光强度不小于某一额定值 可取为 1 个单位 , B 点的光强度不小于该额定值的两倍 只

)

须考虑一次反射 . 在满足该设计规范的条件下, 计算线光源长度, 使线光源的功率最小.

2 问题分析

由于线光源是均匀分布的, 要使线光源功率最小, 其长度也应该较小. 但若线光源的长度太小, 有

可能出现 C 点的光强度小于额定值;若线光源的长度过大, 虽然能同时满足 B 、C 两点光强度的要求,

但线光源的功率也增大了. 我们的目的就是在 B 、C两点光强度满足题目要求的情况下, 求出最优的线

光源长度, 又由于到达屏上某一点的光线数目与该点的光强度成正比, 因此, 可以将题中条件转化为:

到达 C 点的光线数目不小于某一额定值, 到达 B 点的光线数目不小于该额定值的两倍.

另一方面, 在抛物线上任取一点, 并利用光路的可逆性, 分别求出能够到达 B 点和 C 点的入射光

线方程. 若入射光线与线光源所在直线的交点的纵坐标的绝对值不大于线光源长度的一半, 即与线光

源有交点, 则表示该光线经反射后能够到达屏上的B 点或 C 点. 这可通过计算机仿真来实现.

3 、模型的基本假设

( )

1 线光源看成是无数个点光源叠加而成;

( )

2 不考虑光在抛物面上的折射, 并且光在传播过程中, 其强度不受空气的影响;

( )

3 不考虑车灯前配置镜面对反射光方向的影响.

4 、模型的建立及求解

以抛物面的顶点为原点 O , 对称轴为 x 轴, 过点 O 且与线光源平行的直线为 y 轴, 过顶点且与 x

轴 、y 轴垂直的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系. 由题中所给数据可求得旋转抛物面的方程是 :

60 x = y 2 + z2 . 根据光路的几何原理和空间解析几何的知识, 易推出结论 :

线光源发出的光线经抛物面反射后若能到达 B