离散数学——容斥原理
先来看一下对于容斥原理的定义，引用百度百科
容斥原理_百度百科
现在，假定已经能够熟悉这个原理的基本内容，下面是对容斥原理的一些解释。
为了方便说明，我们把全集设为三个集合的并集A1， A2， A3
我们要求全集的基数，由容斥原理的定义可知，我们可以对单独的子集求基数，然后再减去多计算的部分即可。
很简单的两步
1.每个集合基数单独计算
2.将多减去的部分加上即可
对于容斥原理的难点，主要是第二部分。
我们会发现，在执行第二步的时候，会多减去一部分，也有可能不多减，这是子集的交集为空集的情况，然后我们会发现，我们又多加了一部分，然后依次递归，直到最后的交集是所有子集的交集的情况，因为这样的时候，前面所有的多加多减去的部分已经计算完成，只剩下最后的这一部分。
我们看这个公式
https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/c14b2ae75dc2656967cb2e2dedbe57cd.svg
这个公式即是对上述所说的解释。
对于(-1)^m-1这里，可以说明以下。
对于两个子集的时候，只需要减去多加的部分，即| A1交A2 |
对于三个子集的时候，在减去多加的部分的同时，怎么保证A1， A2， A3的交集不为空？
它肯定有空的时候，这是毫无疑问的，但是也有不为空的时候，这也是毫无疑问的。
那既然有不为空的时候，那怎么保证两两子集交集不会与A1，A2，A3的交集重合？既然这样，就会有多减的时候，那么再将多减去的再加回来即可。
为用数学公式统一，那么无论如何都加一下不就可以了吗？
对于四个子集的时候，怎么保证对于每三个子集交集不会有与四个子集的交集重复的情况，那这是不是又多减去了一部分？
......
上述即是 (-1)^m-1的正确性
方便使用数学的公式统一，可以更精简的写成这种形式
https://bkimg.cdn.bcebos.com/formula/8235e8b08ec7fc0c668a225a1146711b.svg
一些应用
求解欧拉函数
欧拉函数的定义是，小于n并且与n互素的数从的个数
首先任何一个自然数，都能分解为素数的乘积形式，并且，有且只有一种情况。
比如10可以分解为2*5，既然这样，任何能被5和2整除的数和10都不能为素数。
那么全集就是1-10所有自然数，应用容斥原理。
要从U中寻找和10互素的数，可以用全集的基数减去是2 倍数的数5两个子集
A：2的倍数
B：5的倍数
ans = 9 - 4 - 1 + 0 = 4
验证：1 3 7 9
正确
推广形式
对于一个自然数n，可以将其拆分为这样的形式
Ai为i倍数组成的集合
然后有
用～A表示补集 |__| 表示向下取整
F(n) = |～A1 交 ～A2 ... 交～Ak|
可计算 |Ai| = |_n/pi_|
所以
|Ai 交Aj| = |_n/pi*pj_|
经过一系列计算可得（不写过程了，电脑上打公式属实折磨）
最后得出的结论
F(x) = n(1 - 1/p1)(1- 1/p2) ... (1 - 1/pk)
离散数学——容斥原理相关推荐
- 离散数学 - 容斥原理
第1关:埃拉托斯特尼筛法 本关任务:使用埃拉托斯特尼筛法找某个区间内的所有素数. #coding=utf-8 import sympy as sym ''' 说明: 100的平方根为10,所以只要先计 ...
- 离散数学/组合数学：序列与其对应的生成函数；多项式函数的系数与序列的联系；重复组合数的理解方法即----全1序列对应的生成函数做n重卷积（不严谨说法）之后得到的序列的x的k次方项的系数；莫比乌斯反演。
继我所写的文章 "迭代.递归.栈.差分方程之间的本质联系以及由推广的迭代法解决"变态青蛙跳台阶"问题" 结束之后,自然的引出一个问题,就是关于如果真的给定k项之 ...
- 【离散数学】集合论 第三章 集合与关系(3) 集合计数的加法原理、容斥原理
本文属于「离散数学」系列文章之一.这一系列着重于离散数学的学习和应用.由于内容随时可能发生更新变动,欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘.此外,在本系列学习文章中,为了透彻理解数学知识, ...
- 离散数学/组合数学：利用容斥原理，求满射函数的个数，注意它容斥原理求得的是”非满射函数的个数”，以在A到B形成的函数的总个数为“全集“求该全集中”非满射函数的个数”的补集才是目标个数。
用能够形成的总函数个数为全集,利用容斥原理求得各类非满射的函数的个数再求其补集才是所求. 这里利用的考察元素的方法 我们依次考察"b1不在值域"+"b2不在值域" ...
- 运用计算机计算包含排斥原理,离散数学包含及排斥原理.ppt
离散数学包含及排斥原理 第三章 集合与关系 * 一.有限集的计数 一个集合若其组成集合的元素个数是有限的,则称作有限集. 设A1.A2为素个数分别记为|A1|,|A2| P96有限集记数有如下几个性质 ...
- 《离散数学》双语专业词汇表 名词术语中英文索引
<离散数学>双语专业词汇表 set:集合 subset:子集 element, member:成员,元素 well-defined: 良定,完全确定 brace:花括号 represent ...
- 离散数学及其应用傅彦pdf_《离散数学及其应用》第二章 计算与探索
C++实现: 1. 由于只用实现两个有限集的笛卡尔积,应该就是回顾概念吧. #include <iostream> #include <map> #include <se ...
- 离散数学考前复习：（三）计数
离散数学考前复习:(三)计数 3.1排列与组合 加法法则:第一项任务为n1种方式,第二项任务为n2种方式,两项任务不能同时完成,则为(n1+n2)种方式 乘法法则:一个过程可以分为独立的两个相互独立的 ...
- 离散数学及其应用课程复习Kenneth H.Rosen
离散数学及其应用课程笔记 MiracleZero 文章目录 离散数学及其应用课程笔记 chap1 The Foundations: Logic and Proofs chap2 Basic Struc ...
- 【离散数学】离散数学系列文章汇总目录（持续更新中）
本文属于「离散数学」系列文章的汇总目录.这一系列着重于离散数学的学习和应用.由于内容随时可能发生更新变动,欢迎关注和收藏本文以作备忘.此外,在本系列学习文章中,为了透彻理解离散数学,本人参考了诸多博客 ...
最新文章
- ASP.NET Ajax – History Support 續
- opencv openpose
- char a[]和char *a的比较,数组名,数组首地址,a,a,a[0]
- 06 - java 方法
- vocabulary of ERP
- linux的awk命令如何用？
- list 转 json，以及 json 解析
- C语言--输入一个数判断是否为素数（多种方法）
- 红外通信模块——详细资料（含遥控器按键对应的码值）
- 普元EOS7.x及以下版本升级Tomcat8
- 如何用保险保障自己的一生？
- 数据分析3_淘宝用户行为分析_阿里云天池
- linux ppp拨号 USB,Linux中实现ppp拨号连接
- siss编程--C语言--三子棋
- Cheat Engine游戏脚本修改器通关教程（脑残版Step9）
- 手里没有USB转TTL模块调试红外学习模块不要紧，利用最小系统板自己焊接一个
- 系统认证风险预测方案总结
- opencv编译笔记(opencv 4.1.0 编译失败缺少opencv_world410d.lib)
- FI和HR集成自动记账-薪酬计提与发放过账-OBYE/OBYG/PE03/OH02
- python分析股票数据 彤_Python数据分析：股票数据