离散数学包含及排斥原理

第三章 集合与关系 * 一、有限集的计数 一个集合若其组成集合的元素个数是有限的，则称作有限集。 设A1、A2为素个数分别记为|A1|，|A2| P96有限集记数有如下几个性质： a)|A1∪A2| ≤ |A1|+|A2| b)|A1∩A2| ≤min( |A1|,|A2|) c)|A1―A2 | ≥ |A1|― |A2| d)| A1⊕A2| = |A1|+|A2|―2 | A1∩ A2| 以上公式可以通过文氏图直接得到说明 * 二、容斥原理 定理3-3.1 设A1，A2为有限集合，其元素个数分别为|A1|，|A2|，则|A1∪A2| =A2| ―| A1∩ A2| A2 A1 E A1∩ A2 * 二、容斥原理 定理 设A1，A2，A3为有限集合，其元素个数分别为|A1|，|A2|， |A3|则有|A1∪A2 ∪A3 | = |A1|+|A2| A2| ―| A1∩ A3| ―| A2∩ A3| + | A1∩ A2 ∩ A3 | * /dx /dx/150517/4624821.html /dx/150517/4624815.html /dx/150517/4624813.html /dx/150517/4624812.html /dx/150517/4624811.html /dx/150517/4624810.html /dx/150517/4624802.html /dx/150517/4624801.html /dx/150517/4624800.html /dx/150513/4623075.html /dx/150510/4621518.html /dx/150510/4621517.html /dx/150510/4621500.html /dx/150522/4628487.html /dx/150516/4624630.html /dx/150516/4624620.html /dx/150610/4637565.html /dx/150611/4638148.html /dx/150611/4638150.html /dx/150611/4638151.html 二、容斥原理 A1 A2 A3 A1∩ A2 A1∩ A3 A2 ∩ A3 A1∩ A2∩ A3 * 二、容斥原理 例 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人； 同时修数学、化学的20人； 同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。 问这学校共有多少学生？ * 二、容斥原理 例 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人； 同时修数学、化学的20人； 同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。问这学校共有多少学生？ 解：令 M为修数学的学生集合；P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；则： 书例 P96 例题1、2 * 二、容斥原理 定理 设A1，A2 ，A3 ，A4为有限集合，其元素个数分别为|A1|，|A2| ，|A3| ，|A4| ，则|A1∪A2 ∪A3 ∪A4 | = |A1|+|A2| +|A3| +|A4| ―| A1∩ A2| ―| A1∩ A3| ―| A1∩ A4| ―| A2∩ A3| ―| A2∩ A4| ―| A3∩ A4| +| A1∩ A2 ∩ A3 | +| A2∩ A3∩ A4 | +| A1∩ A3∩ A4 | +| A1∩ A2 ∩ A4 | ―| A1∩ A3 ∩ A2∩ A4| * 二、容斥原理 P97 定理3-3. (推广到n个有限集情况)设A1,A2 , … , An为有限集合，其元素个数分别为|A1|，|A2| , … ,|An| ，则|A1∪A2 …An | = ∑|Ai|―∑| Ai∩ Aj|+ ∑ | Ai∩ Aj ∩ Ak | + … +(-1)n-1 | A1∩ A2 ∩ …∩ An| 证明：P98 * 练习 例 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数。 * 练习 例 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数。 解：令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集合，B为被5除尽的数的集合 被3或5除尽的数的个数为 * 练习 P99 书例3 例 求不