集合论—集合的基本运算与主要算律

给定集合AAA和BBB，可以通过集合的并(∪)(\cup)(∪)、交(∩)(\cap)(∩)、相对补(−)(-)(−)、绝对补(∼)(\sim)(∼)和对称差(⊕)(\oplus)(⊕)等运算产生新的集合。

并集A∪BA\cup BA∪B
A∪B={x∣x∈A∨x∈B}A\cup B = \{x|x\in A\lor x\in B\}A∪B={x∣x∈A∨x∈B}可以把nnn个集合的并集简记为⋃i=1nAi=A1∪A2∪...∪An\bigcup_{i=1}^{n}A_i = A_1 \cup A_2 \cup...\cup A_ni=1⋃nAi=A1∪A2∪...∪An
交集A∩BA\cap BA∩B
A∩B={x∣x∈A∧x∈B}A\cap B = \{x|x\in A \land x\in B\}A∩B={x∣x∈A∧x∈B}当两个集合的交集是空集时，称它们是不交的。
可以把nnn个集合的交集简记为⋂i=1nAi=A1∩A2∩...∩An\bigcap_{i=1}^{n} A_i= A_1\cap A_2\cap...\cap A_ni=1⋂nAi=A1∩A2∩...∩An
BBB对AAA的相对补集A−BA-BA−B
A−B=A−A∩B={x∣x∈A∧x∉B}A-B = A-A\cap B=\{x|x\in A\land x\notin B\}A−B=A−A∩B={x∣x∈A∧x∈/B}
绝对补集∼A\sim A∼A
设EEE为全集，A⊆EA\subseteq EA⊆E，则称AAA对EEE的相对补集为AAA的绝对补集，记做∼A或A‾\sim A或\overline A∼A或A∼A=E−A={x∣x∈E∧x∉A}\sim A = E-A = \{x|x\in E\land x\notin A\}∼A=E−A={x∣x∈E∧x∈/A}或简记为∼A={x∣x∉A}\sim A = \{x|x\notin A\}∼A={x∣x∈/A}
AAA与BBB的对称差A⊕BA\oplus BA⊕B
A⊕B=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)\begin{aligned} A\oplus B & =(A-B)\cup(B-A) \\ & = (A\cup B)-(A\cap B) \\ \end{aligned}A⊕B=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)根据对称差的定义公式可得推论：
5.1. A⊕A=∅A\oplus A = \varnothingA⊕A=∅
5.2. A⊕∅=AA\oplus \varnothing = AA⊕∅=A

集合运算的主要算律

算律	公式
幂等律	A∪A=AA∪A=AA∪A=A
幂等律	A∩A=AA∩A=AA∩A=A
结合律	(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
结合律	(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
交换律	A∪B=B∪AA\cup B = B\cup AA∪B=B∪A
交换律	A∩B=B∩AA\cap B = B\cap AA∩B=B∩A
分配律	A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
分配律	A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
同一律	A∪∅=AA\cup\varnothing = AA∪∅=A
同一律	A∩E=AA\cap E = AA∩E=A
零律	A∪E=EA\cup E = EA∪E=E
零律	A∩∅=∅A\cap\varnothing = \varnothingA∩∅=∅
排中律	A∪∼A=EA\cup\sim A = EA∪∼A=E
矛盾律	A∩∼A=∅A\cap\sim A = \varnothingA∩∼A=∅
吸收律	A∪(A∩B)=AA\cup(A\cap B)=AA∪(A∩B)=A
吸收律	A∩(A∪B)=AA\cap(A\cup B) = AA∩(A∪B)=A
德摩根律	A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)A-(B\cup C) = (A-B)\cap(A-C)A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)
	A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)A-(B\cap C)=(A-B)\cup(A-C)A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)
	∼(A∪B)=∼A∩∼B\sim(A\cup B)=\sim A\cap\sim B∼(A∪B)=∼A∩∼B
	∼(A∩B)=∼A∪∼B\sim(A\cap B) = \sim A\cup\sim B∼(A∩B)=∼A∪∼B
	∼∅=E\sim\varnothing=E∼∅=E
	∼E=∅\sim E = \varnothing∼E=∅
否定律	∼(∼A)=A\sim(\sim A)=A∼(∼A)=A

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