线性代数Python计算：对称矩阵的对角化

numpy.linalg包提供了函数
eigh(A)\text{eigh(A)}eigh(A)
计算并返回参数A表示的对称矩阵的特征值v和由特征向量经过标准正交化后构成正交矩阵P。其中返还的特征值数组v中元素按升序排列，P中的各列对应属于v中特征值的特征向量。
例1 用Python计算使得矩阵A=(22−225−4−2−45)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5\end{pmatrix}A=⎝⎛22−225−4−2−45⎠⎞与对角阵合同的正交矩阵P\boldsymbol{P}P。

import numpy as np                              #导入numpy
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True) #设置输出精度
A=np.array([[2,2,-2],                           #设置矩阵A[2,5,-4],[-2,-4,5]])
v,P=np.linalg.eigh(A)                           #计算A的特征值和正交特征向量
print(v)
print(P)
print(np.matmul(np.matmul(P.T,A),P))            #验证A与对角阵合同

程序的第3~5行设置矩阵数据A。第6行调用numpy.linalg包的函数eigh，计算矩阵参数A的特征值v和正交特征向量组成的正交矩阵P。第7、8行分别输出v和P，第9行调用numpy的matmul函数计算矩阵的积PTAP\boldsymbol{P}^{\text{T}}\boldsymbol{AP}PTAP并输出。运行程序，输出

[ 1.  1. 10.]
[[-0.9314 -0.1464 -0.3333][ 0.1231  0.7351 -0.6667][-0.3426  0.6619  0.6667]]
[[ 1. -0. -0.][ 0.  1.  0.][-0.  0. 10.]]

第1行输出的是A\boldsymbol{A}A的3个特征值1，1，10。接下来输出的是正交特征向量构成的正交阵P\boldsymbol{P}P。最后输出验证了PTAP\boldsymbol{P}^{\text{T}}\boldsymbol{AP}PTAP确实为由特征值构成的对角阵(1000100010)\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&10\end{pmatrix}⎝⎛1000100010⎠⎞。
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