04 高等数学专题——向量代数和空间解析几何

一、向量代数

分配率：
点乘与叉乘都有分配率

交换律：
点乘有交换率，叉乘交换之后结果相反

轮换对称性：
叉乘有轮换对称性（abc）=(aXb).c
则(abc)=(bca)=(cab)

两向量垂直：点乘为0
两向量平行：叉乘为0或者对应坐标成比例

二、平面直线、平面曲线:

共性：一元函数y=f(x)，或者二元方程f(x,y)=0表示

特性：
平面直线——变量呈线性关系
一般式：Ax+By+C=0
点法式：A(x-x0)+B(y-y0)=0

平面曲线——变量x与y呈非线性关系（甚至不是函数，可能围成了闭合曲线）

三、空间直线、空间曲线：

空间直线：
1.一般式：两个空间平面的交线
联立A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0
方向向量n=（A1,B1,C1）x(A2,B2,C2)
3.对称式：
x−x0l=y−y0m=z−z0n\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}lx−x0=my−y0=nz−z0
方向向量（l,m,n），（x0,y0,z0）是直线上一点
3.参数式：令上式等于t得到 x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt
方向向量（l,m,n）

空间曲线（有切向量）：
1.一般式：联立F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0 ——消去某个变量得到柱面
某点切向量：n=n1xn2
2.参数式：x=x(t),y=y(t),z=z(t)
某点切向量：分别对t求导之后代入坐标可以得到

四、空间平面、空间曲面：

共性：二元函数z=f(x,y)，或者用三元方程f(x,y,z)=0表示

特性：
空间平面
——变量呈线性关系
一般式：Ax+By+Cz+D=0, 平面法向量n=(A,B,C)
点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，（x0,y0,z0）是平面上一点，平面法向量n=(A,B,C)
截距式：x/a+y/b+z/c=1,a、b、c代表在三个坐标轴上的截距

空间曲面（有法向量）
——变量x、y、z呈非线性关系（甚至不是函数，可能围成了闭合曲面）
1.方程式：F(x,y,z)=0
某点法向量：n={Fx,Fy,Fz},三个偏导数
2.函数式：z=f(x,y)
某点法向量：n={fx,fy,-1},两个个偏导数

已知某个向量（知道这个向量在各个坐标轴的分量），可以求出这个向量与各个平面的方向余弦。——已知曲面上一点，得到该点的法向量，得到法向量的方向余弦，得到面微元与坐标轴的夹角

五、曲面及其图像：

1.旋转面：绕谁谁不动，剩下两个开根号

平面曲线绕平面直线旋转
例如：对于曲线f(y,z)=0且x=0，则曲面绕y轴得到曲面方程：
f(y,±x2+z2)f(y,\pm\sqrt{x^2+z2})f(y,±x2+z2)

2.柱面：

动直线沿着定曲线，且平行某定直线（很多条）
母线：动直线准线：定曲线
例如：
1.准线是平面曲线：f(x,y)=0且z=0，母线平行于z轴，得到柱面方程：
f(x,y)=0，z任意

2.准线是空间曲线：联立F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，母线平行于z轴，联立去z得到柱面方程：
H(x,y)=0，z任意

3.常见二次曲面及其图像

1.圆柱面

x2+y2=R2，z任意x^2+y^2=R^2，z任意x2+y2=R2，z任意

2.球面

x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2=R^2x2+y2+z2=R2

3.圆锥面

x2+y2=z2，（锥尖在原点，z=∣x∣绕z轴旋转得到)x^2+y^2=z^2，（锥尖在原点，z=|x|绕z轴旋转得到)x2+y2=z2，（锥尖在原点，z=∣x∣绕z轴旋转得到)

4.旋转抛物面

z=x2+y2（底在原点，z=x2绕z轴旋转得到）z=x^2+y^2（底在原点，z=x^2绕z轴旋转得到）z=x2+y2（底在原点，z=x2绕z轴旋转得到）

六、线、面关系

平面与直线的关系（平行，垂直，夹角）

1.两直线关系：两直线的方向向量之间的夹角，必须得到锐角，若不是锐角则pi-a
2.两平面关系：两平面的法向向量之间的夹角
3.平面与直线的关系：直线的方向向量与平面的法向向量，先得一个锐角pi-a，在得到这个锐角的互余角pi/2-a

点到平面或直线的距离

S=|ABXs|=d.|s|,A是直线上的点，B是平面外一点