【2021-MOOC-浙江大学-陈越、何钦铭-数据结构】树-中
文章目录
- 1.二叉搜索树
- 1.1 二叉搜索树的查找操作：Find
- 1.1.1 递归查找
- 1.1.2 非递归查找
- 1.13 查找最大和最小元素
- 1.2 二叉搜索树的插入
- 1.2.1 插入算法
- 1.3 二叉搜索树的删除
- 1.3.1 删除算法
- 1.4 完整代码
- 2.平衡二叉树
- 2.1 平衡二叉树的调整
- RR旋转
- LL旋转
- LR旋转
- RL旋转
- 2.2 完整代码
1.二叉搜索树
1.1 二叉搜索树的查找操作：Find
1.1.1 递归查找
1.1.2 非递归查找
1.13 查找最大和最小元素
查找最小元素的递归函数
查找最大元素的迭代函数
1.2 二叉搜索树的插入
1.2.1 插入算法
1.3 二叉搜索树的删除
情况一：要删除的是叶结点：直接删除，并再修改其父结点指针
方法：如果是在其父节点的左边，就把父结点的left设置为NULL，如果是在其父结点的右边，就把父结点的right设置为NULL
情况二：要删除的结点只有一个孩子结点
方法：将其父结点的指针指向要删除结点的孩子结点
情况三：要删除的结点有左、右两棵子树
方法：用另一结点替代被删除结点：右子树的最小元素 或者 左子树的最大元素
取右子树中的最小元素替代
取左子树中的最大元素替代
1.3.1 删除算法
思考题
1、已知一棵由1、2、3、4、5、6、7共7个结点组成的二叉搜索树（查找树），其结构如图所示，问：根结点是什么？
解析：右子树有2个数据大于根节点，左子树有4个数据大于根节点，故根节点为5
答案
2、在上题的搜索树中删除结点1，那么删除后该搜索树的后序遍历结果是：
答案：243765
3、若一搜索树（查找树）是一个有n个结点的完全二叉树，则该树的最大值一定在叶结点上？
解析：错误！
如果是满二叉树，就是对的。
如果只是完全二叉树，比如下面这种情况，最大值不在叶结点上
4、若一搜索树（查找树）是一个有n个结点的完全二叉树，则该树的最小值一定在叶结点上？
解析：正确！
如上图所示，最小值一定在最左边，而完全二叉树的最左边一定是叶节点。
1.4 完整代码
BinTree Insert( BinTree BST, ElementType X )
{if( !BST ){ /* 若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树 */BST = (BinTree)malloc(sizeof(struct TNode));BST->Data = X;BST->Left = BST->Right = NULL;}else { /* 开始找要插入元素的位置 */if( X < BST->Data )BST->Left = Insert( BST->Left, X ); /*递归插入左子树*/else if( X > BST->Data )BST->Right = Insert( BST->Right, X ); /*递归插入右子树*//* else X已经存在，什么都不做 */}return BST;
}BinTree Delete( BinTree BST, ElementType X )
{ Position Tmp; if( !BST ) printf("要删除的元素未找到"); else {if( X < BST->Data ) BST->Left = Delete( BST->Left, X ); /* 从左子树递归删除 */else if( X > BST->Data ) BST->Right = Delete( BST->Right, X ); /* 从右子树递归删除 */else { /* BST就是要删除的结点 *//* 如果被删除结点有左右两个子结点 */ if( BST->Left && BST->Right ) {/* 从右子树中找最小的元素填充删除结点 */Tmp = FindMin( BST->Right );BST->Data = Tmp->Data;/* 从右子树中删除最小元素 */BST->Right = Delete( BST->Right, BST->Data );}else { /* 被删除结点有一个或无子结点 */Tmp = BST; if( !BST->Left ) /* 只有右孩子或无子结点 */BST = BST->Right; else /* 只有左孩子 */BST = BST->Left;free( Tmp );}}}return BST;
}
2.平衡二叉树
2.1 平衡二叉树的调整
RR旋转
LL旋转
LR旋转
RL旋转
思考题
1、画画看，至少需要多少个结点才能构造出一棵4层（h=3)的平衡二叉树？
解析：7个结点
2、将1、2、3、4、5、6顺序插入初始为空的AVL树中，当完成这6个元素的插入后，该AVL树共有多少层？
解析：3层
3、若一AVL树的结点数是21，则该树的高度至多是多少？注：只有一个根节点的树高度为0
解析：nh = nh-1 + nh-2
| h | n |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 7 |
| 4 | 12 |
| 5 | 20 |
| 6 | 33 |
| 7 | 54 |
可知，21个结点也就只能构成最高5层的平衡搜索树。
2.2 完整代码
typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */
struct AVLNode{ElementType Data; /* 结点数据 */AVLTree Left; /* 指向左子树 */AVLTree Right; /* 指向右子树 */int Height; /* 树高 */
};int Max ( int a, int b )
{return a > b ? a : b;
}AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B *//* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */ AVLTree B = A->Left;A->Left = B->Right;B->Right = A;A->Height = Max( GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right) ) + 1;B->Height = Max( GetHeight(B->Left), A->Height ) + 1;return B;
}AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C *//* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C *//* 将B与C做右单旋，C被返回 */A->Left = SingleRightRotation(A->Left);/* 将A与C做左单旋，C被返回 */return SingleLeftRotation(A);
}/*************************************/
/* 对称的右单旋与右-左双旋请自己实现 */
/*************************************/AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X )
{ /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */if ( !T ) { /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));T->Data = X;T->Height = 0;T->Left = T->Right = NULL;} /* if (插入空树) 结束 */else if ( X < T->Data ) {/* 插入T的左子树 */T->Left = Insert( T->Left, X);/* 如果需要左旋 */if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == 2 )if ( X < T->Left->Data ) T = SingleLeftRotation(T); /* 左单旋 */else T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */} /* else if (插入左子树) 结束 */else if ( X > T->Data ) {/* 插入T的右子树 */T->Right = Insert( T->Right, X );/* 如果需要右旋 */if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == -2 )if ( X > T->Right->Data ) T = SingleRightRotation(T); /* 右单旋 */else T = DoubleRightLeftRotation(T); /* 右-左双旋 */} /* else if (插入右子树) 结束 *//* else X == T->Data，无须插入 *//* 别忘了更新树高 */T->Height = Max( GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right) ) + 1;return T;
}
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