欧拉函数

欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。（例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。）
通式：

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
质因数：质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。

int ouler(int n)
{int number = 1, i;for(i=2; i*i <= n; i++){if(n%i == 0){n =n/ i;number *= (i-1);while(n%i == 0){n /= i;number *= i;}}}if(n > 1)number *= (n-1);return number;
}

欧拉定理

若n,a为正整数，且n,a互质，则:

降幂

ab≡{ab%φ(n)(&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;n)n,a互质ab(&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;n)b<φ(n)ab%φ(n)+φ(n)(&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;n)b≥φ(n)a^b\equiv \left\{ \begin{aligned} a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n,a互质\\ a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\\ a^{b\%\varphi(n)+\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ b\geq\varphi(n) \end{aligned} \right.ab≡⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ab%φ(n)(mod n) n,a互质ab(mod n) b<φ(n)ab%φ(n)+φ(n)(mod n) b≥φ(n)

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{long long int a,p;long long int b=0;char s[100];printf("底数 指数 模数\n");scanf("%lld %s %lld",&a,s,&p);int phi=ouler(p),len=strlen(s);printf("phi(%lld)=%d\n",p,phi);for(int i=0; i<len; i++)b=(b*10+s[i]-'0')%phi;int result=quickpow(a,b+phi,p);printf("%d",result%p);
}
int quickpow(long long int a,long long int b,long long int p)
{long long int r=1,base=a;while(b){if(b%2)r=r*base%p;base=base*base%p;b=b/2;}return r;
}
int ouler(int n)
{int result=n;for(int i=2; i*i<=n; i++){if(n%i==0){n=n/i;result=result*(i-1)/i;while(n%i==0){n=n/i;}}}if(n>1)result=result*(n-1)/n;return result;
}

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