编程数学读书笔记 -- 第二章逻辑

写在前面：

逻辑之于程序员，好比半导体芯片之于现代工业。本节内容是我们都学过的“集合论”和“数字电路”中工具串联：文氏图、真值表、德摩根律和卡诺图。

作者给出逻辑要求：不漏不重。（不漏即完整，不重即排他），逻辑根本上来说就是对“不漏不重”的组合表达。

本篇笔记针对如何利用上述逻辑和集合论工具解决复杂逻辑命题。复杂逻辑命题就是一个程序里要写几十个或者上百个if语句组合的情况。

1. 复杂命题表示工具：文氏图和真值表

A∩BA \cap BA∩B: A && B，逻辑与
A∪BA\cup BA∪B: A || B，逻辑或
Aˉ\bar AAˉ: !A, 逻辑非
A⊕BA\oplus BA⊕B: A^B, 异或（这里的^是按位异或）
A⊙BA\odot BA⊙B：同或
A⇒BA\Rightarrow BA⇒B: A蕴含B（若A则B)，这是两个命题的复合。

1.1 简单的与或非的文氏图

表示如图1：

图1 与或非文氏图

1.2 异或、同或

直接画出异或、同或的文氏图会有点难度。一般可先写出真值表如图2, 再由真值表推出相应的文氏图，如图3。

图2 异或和同或的真值表

图3 异或和同或的文氏图

可见(A⊙B)‾==A⊕B\overline{(A\odot B)} == A\oplus B(A⊙B)==A⊕B

1.3 蕴含A⇒BA\Rightarrow BA⇒B

这个理解起来不像与或非那样可以有直观感受。事实上，蕴含就是逻辑学家发明出来的，而且蕴含不是逻辑运算。而且这个可以帮助我们理解高中时学过的“原命题和逆否命题是等价的”

我个人认为，蕴含是用来搭积木的，把一个命题和另一个命题拼起来，组成一个新命题。不过搭积木的描述稍有不准确，因为搭积木只描述出新命题的真假取决于两个命题A，B的组合，实质上，蕴含希望人们关注的是新命题什么时候为假。如A⇒BA\Rightarrow BA⇒B中，只有当A为真，B为假的时候，新命题A⇒BA\Rightarrow BA⇒B才为假。

换个生活场景来理解，如果把命题暂且等价理解为承诺的话（事实上命题意义不仅于此）的话，会发现，带有蕴含关系的承诺，能降低许诺的人食言的概率：
如果你考上清华大学，那么我就送你一辆车。
命题A：你考上清华大学；命题B：我送你一辆车。
只要当 A真，B假的时候，许诺的人属于食言。
对于成绩一般的学生来说，这样的承诺，基本不会食言。

另一个，不含蕴含关系的承诺：
高考结束之后，我送你一辆车。
这两个承诺相比，不带蕴含关系的承诺听起来更令人开心。

重新回到命题A⇒BA\Rightarrow BA⇒B上，其对应真值表和文氏图如图4所示：

图4 蕴含的真值表和文氏图

其中，由A⇒BA\Rightarrow BA⇒B可推出，A⇒B=Aˉ∪BA\Rightarrow B =\bar A \cup BA⇒B=Aˉ∪B, 由这个关系看承诺如果你考上清华大学，那么我就送你一辆车。，由于Aˉ\bar AAˉ足够的大，使得许诺的人食言的概率大大降低。

下面是“原命题和逆否命题的等价论证”：
即，(A⇒B)⇔(Bˉ⇒Aˉ)(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\bar B \Rightarrow \bar A)(A⇒B)⇔(Bˉ⇒Aˉ)

其中，Bˉ⇒Aˉ\bar B \Rightarrow \bar ABˉ⇒Aˉ真值表和文氏图如图5所示：

图5 逆否命题的真值表

对比图4和图5发现，A⇒BA \Rightarrow BA⇒B 和 Bˉ⇒Aˉ\bar B \Rightarrow \bar ABˉ⇒Aˉ文氏图完全相同，所以两者等价，命题得证。

蕴含关系的用处：

我觉得这个东西是用来训练对业务逻辑的理解的
其核心是重点关注蕴含关系的逻辑命题何时为假

2. 复杂命题对偶转换：德摩根律

有些情况下，将原命题转换为对偶命题，可以实现一个难解问题转换成容易解决的问题。一个不恰当的例子就是“核方法的非线性支持向量机”（转换为对偶问题过程中，将难解的高维映射函数退化成容易计算核函数）。

Aˉ∩Bˉ=A∪B‾\bar A \cap \bar B = \overline{A\cup B}Aˉ∩Bˉ=A∪B
如图6所示：

图6 德摩根律1

Aˉ∪Bˉ=A∩B‾\bar A \cup \bar B = \overline{A\cap B}Aˉ∪Bˉ=A∩B

如图7所示：

图7 德摩根律2

3. 复杂命题简化工具：卡诺图

【三灯游戏的规则】
请在下述情况时按下按钮:
a:绿灯、黄灯、红灯都灭
b:黄灯灭,红灯亮
c:绿灯灭,黄灯亮
d:绿灯、黄灯、红灯都亮

使用卡诺图化简上述规则：
设命题A：绿灯亮；命题B：黄灯亮；命题C：红灯亮。

设计卡诺图框，只有一个原则：保证由ABC（A是高位）表示二进制数不重不漏。由于是三个命题，所以卡诺图中每个位置要一一对应232^323个数：0~7。

如图8所示，三种卡诺图设计，每个框都唯一对应一个数，且没有重复和遗漏。

图8

图8三种卡诺图框对应的卡诺图结果如图9所示，化简后的结果都是一样的，即Aˉ∪C\bar A \cup CAˉ∪C

图9

4. 逻辑不漏的最后一步：三值逻辑

程序设计中，有的变量会出现未定义的逻辑状态，于是引入了”未定义状态“：undefined。于是有了：true，false，undefined三值逻辑。

考察三值逻辑下C++中的：&&，|| 和！和德摩根律运算（同样适用于java）。

C++中的 && 和 || 是带条件的运算：
if (A && B) ：

如果 A == true，整个表达式等于B 的值；
如果 A == false ，整个表达式就为 false，不再计算 B 的值；
如果 A == undefined，计算机不进行任何处理，B的值不再查看。整个表达式就为 undefined；

if (A || B) ：

如果 A == true，整个表达式等于true，不再查看B；
如果 A == false ，整个表达式等于B 的值；
如果 A == undefined，计算机不进行任何处理，B的值不再查看。整个表达式就为 undefined；

if (！A) ：

A==true，整个表达式为false；
A==false，整个表达式为true；
A为undefined，整个表达式就为 undefined；

至于德摩根律：根据三值逻辑的真值表可以得出，三值逻辑下的德摩根律也是成立的（C++表示，java也一样）。

( (!A) && (!B) ) == !(A || B);
( (!A) || (!B) ) == !(A && B);

小节

利用上述工具：逻辑表达式、真值表、文氏图、卡诺图等可以将现实世界中的复杂逻辑关系转变为简单的逻辑关系。
本章只是做到了逻辑上的不漏不重，更进一步的，如何有效且简练地将问题划分成不同的子问题，还需要余数和数学归纳法的知识。