1. 简单情况

第一阶段目标是找可行解。例如：
{x1=x3−1x2=x3+2\left\{ \begin{array}{} x_1& = &x_3-1\\ x_2& = &x_3+2 \end{array} \right. {x1x2==x3−1x3+2
显然非基变量 x3=0x_3=0x3=0 时，基变量 x1=−1x_1=-1x1=−1 不是可行解。于是，我们很自然想到让 x1x_1x1 与 x3x_3x3 旋转置换，即 x3=x1+1x_3 = x_1+1x3=x1+1。于是有：
{x3=x1+1x2=x1+3\left\{ \begin{array}{} x_3& = &x_1+1\\ x_2& = &x_1+3 \end{array} \right. {x3x2==x1+1x1+3
单纯形方法总是假定方程式右边的变量（非基变量）取值为零，于是我们得到一组可行解x3=1,x2=3,x1=0x_3=1,x_2=3,x_1=0x3=1,x2=3,x1=0。

上面这个变量的置换操作称为旋转，英文术语是 pivot。

我们观察 x1=x3−1x_1 = x_3-1x1=x3−1，旋转之前，变量潜在的取值为 x3=0,x1=−1x_3=0,x_1=-1x3=0,x1=−1。旋转之后，x3=x1+1x_3=x_1+1x3=x1+1，变量潜在的取值为 x1=0,x3=1x_1=0,x_3=1x1=0,x3=1。实际上，旋转操作的目的是增加变量潜在的取值下限，以便得到可行解。

2. 深入的思考

通过不断地置换基变量和非基变量，最终可以找到可行解。因为非基变量最终取值为零，所以这个置换过程实质上是把取值可能为负的基变量旋转到非基变量的位置，从而把方程组中变量的取值范围下限向正的方向提升。既然如此，我们可以采用一些策略加速这个过程。例如：

{x1=x3−1x2=x3−2\left\{ \begin{array}{} x_1& = &x_3-1\\ x_2& = &x_3-2 \end{array} \right. {x1x2==x3−1x3−2
如果 x1x_1x1 和 x3x_3x3 置换，x3=x1+1x_3=x_1+1x3=x1+1, 于是：
{x3=x1+1x2=x1−1\left\{ \begin{array}{} x_3& = &x_1+1\\ x_2& = &x_1-1 \end{array} \right. {x3x2==x1+1x1−1
显然，还需要旋转一次才能得到可行解。如果选择 x2x_2x2 和 x3x_3x3 置换，则可以一步到位。

3.更深入的思考

{x1=−x3+100x2=x3−1\left\{ \begin{array}{} x_1& = &-x_3+100\\ x_2& = &x_3-1 \end{array} \right. {x1x2==−x3+100x3−1
方案一，x1x_1x1出基，结果如下：
{x3=−x1+100x2=−x1+99\left\{ \begin{array}{} x_3& = &-x_1+100\\ x_2& = &-x_1+99 \end{array} \right. {x3x2==−x1+100−x1+99
方案二，x2x_2x2出基，结果如下：
{x1=−x2+99x3=x2+1\left\{ \begin{array}{} x_1& = &-x_2+99\\ x_3& = &x_2+1 \end{array} \right. {x1x3==−x2+99x2+1

方案一可能更有利于找到可行解，虽然 x1x_1x1 对应的常量为正，但该方案成功地解决x2x_2x2 小于零的问题，而且给出了x2=99x_2=99x2=99的潜在条件。这其中的理论原因，需要进一步讨论。

4.坏行——无解的情况

下面几种形式的方程，称为坏行，无论如何旋转，都找不到可行解，对应的规划问题无解：

x1=−x2−1x1+x2=−1x1+x2≤−1......\begin{array}{} x_1 = -x_2-1\\ x_1+x_2 = -1\\ x_1+x_2\le-1\\ ... ... \end{array} x1=−x2−1x1+x2=−1x1+x2≤−1......

在平面坐标系里画一下每个方程对应的图像，很容易理解其中的原因。

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线性规划第一阶段入基变量和出基变量选择的细节讨论

1. 简单情况

2. 深入的思考

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4.坏行——无解的情况

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