球面和共轴球面系统

光线经过单个折射球面的折射

绝大部分光学系统由球面和平面(折射面和反射面)组成，各球面球心在一条直线上，形成该系统的对称轴，即光轴。这样的系统称为共轴球面系统。

光线经过光学系统是逐面进行折射的，光线光路计算也应是逐面进行的。因此，首先对单个折射球面进行讨论，然后过渡到整个系统的计算。这种计算称为光线的光路计算。

通过光轴的截面称为子午面，本节主要讨论子午面内的光线的光路计算公式，目的是推导出近轴光计算公式和讨论光学系统近轴光的特性。

1. 符号规则

在下图所示，折射面 OE是折射率为 n 和 n’ 的两个介质的分界面， C为球心， OC为球面曲率半径，以字母 r 表示。通过球心的直线就是光轴，它与球面的交点称为顶点，以字母 O 表示。显然，单个折射球面的光轴可以有无限多个。

在包含光轴的子午面内，入射于球面的光线，其位置可由两个参量决定:一个是顶点 O 到光线与光轴交点 A 的距离，以 L 表示，称为物方截距:另一个是入射光线与光轴的夹角 LEAO ，以U表示，称为物方孔径角。光线 AE经过球面折射以后，交光轴于点 A’ 。光线 EA’ 的位置的确定与AE相似，用加’的相同字母表示，即 L’ = OA’ , U’ = ∠EOA’，称为像方截距和像孔径角。

沿轴线段如 L ， L’和 r ，以折射面(或反射面)的顶点 O为原点，如果由顶点 O到光线与光轴交点或球心的方向与光线传播方向相同，其值为正，反之为负。光线传播方向通常被规定自左向右。

垂轴线段以光轴为准，在光轴以上者为正，在光轴以下者为负。

光轴与光线的夹角 U和 U’通常由光轴和光线间的锐角来量度，由光轴转向光线所成的角度。顺时针转成者为正，逆时针转成者为负。

光线与法线间的夹角，如入射角 I(正）和折(反)射角 l’(l") （负）的夹角，规定由光线以锐角方向转向法线，顺时针转成者为正，逆时针转成者为负。

光轴与法线的夹角 f 由光轴以锐角方向转向法线(球面曲率半径) ，顺时针转成者为正，逆时针转成者为负。

此外，折射面之间的间隔以字母 d 表示，规定由前一个折射面顶点到后一个折射面顶点的方向与光线传播方向相同者为正，反之为负。在折射光学系统中， d值恒为正。

必须注意，在光路图中负的线段或负的角度必须在表示该量的字母和数字前加负号。还应指出，符号规则是人为规定的，不同的书上可能有所不同，但在使用中只能选择其中一种，不能混淆，否则不能得到正确的结果。按这种符号规则可以充分利用光线追迹公式，不必因反映截距和角度的符号而用不同形式的公式。如果不采用符号规则，对于正截距、正角度用一种公式;对于正截距、负角度用另一种公式:对于负截距、正角度再用另一种公式:以此类推，只有采用符号规则，才能使光路计算公式有普遍意义。

2. 实际光线经过单个折射球面的光路计算公式

若给定单个折射球面的r,n和 n’，利用下述光路计算公式，由已知入射光线的坐标L和 U可
以求得射光线的坐标 L’和U’ 。

应用三角学中的正弦定律于三角形 AEC，得
sinIr−L=sin(−U)r{ {sin I} \over {r-L} } = { {sin (-U)} \over {r} } r−LsinI=rsin(−U)
则
sinI=L−rrsinU−−−−(1)sin I = { {L-r} \over {r} } sin U----(1) sinI=rL−rsinU−−−−(1)

由折射定律可以得折射角

sinI′=nn′sinI−−−−(2)sinI'={n\over{n'}}sinI ----(2) sinI′=n′nsinI−−−−(2)

由图中可知
ϕ=U′+I′,I=−U+ϕ\phi = U'+I', I=-U+\phi ϕ=U′+I′,I=−U+ϕ
即
ϕ=U′+I′=U+I\phi = U'+I'=U+I ϕ=U′+I′=U+I
那么像方孔径角
U′=U+I−I′−−−−(3)U'=U+I-I'----(3) U′=U+I−I′−−−−(3)
应用正弦定律于三角形 A’EC ，得
sinI′L′−r=sinU′r{ {sin I'} \over {L'-r} } = { {sin U'} \over {r} } L′−rsinI′=rsinU′
那么像方截距
L′=r+rsinI′sinU′−−−−(4)L'= r+r{ {sin I'} \over {sin U'}}----(4) L′=r+rsinU′sinI′−−−−(4)
(1)-(4)就是子午面内实际光线的光路计算公式。按该方程组可以由己知的 L和 U求L’和U’ 。由于折射面(或整个系统)对称于光轴，对于轴上点 A 发出的光线可以表示为该光线绕轴一周所形成的锥面上全部光线的光路，显然这些光线在像方应交光轴于同一点。

由以上公式组可知，当 L 为定值时， L’是角 U的函数。如图 2.2 所示，由轴上物点 A 发出同
心光束，在不同锥面上的光线有不同的 U角，经球面折射后将有不同的 L"值，也就是在像方的光束不再和光轴交于一点，失去了同心性。所以，轴上一点以有限孔径角的光束经过单个折射面成像时，一般是不完善的，这种现象称为球面像差，简称"球差"。

3.近轴光的光路计算公式

若由点 A 发出入射于球面的光线与光轴夹角 U非常小，其相应的角度I， l’和 U’也非常小，则这些角度的正弦值可以用弧度来代替，这时的相应角度以小写字母 u ， i , i’和 u’等表示。这种光线在光轴附近的区域内，故称为"近轴光"也称为"傍轴区"。前面所述的相应的实际光线常称为远轴光。

对于近轴光的光路计算公式可由式(1)~式(4)均得到。只要将角度的正弦用弧度取代， L和L’用l和 l’代替，即可得：
{i=l−rrui′=nn′iu′=u+i−i′l′=r+ri′u′−−−−(5)\begin{cases} i = { {l-r} \over {r} } u \\ i' = { {n} \over {n'} } i \\ u' = u+ i-i' \\ l'= r+r{ {i'} \over {u'}} \end{cases}----(5) ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧i=rl−rui′=n′niu′=u+i−i′l′=r+ru′i′−−−−(5)

对于单个折射面，利用上式可以由已知的 l和u值，求得折射后近轴光的 l’和u’值。由上式可知，不论 u为何值， l’为定值，这表明由轴上物点以细光束成像时，其像是完善的，常称为高斯像，高斯像的位置由 l’决定。通过高斯像点而垂直于光轴像面称为高斯像面，构成物像关系的一对点称为共辄点。

将（5）式中的第①个和第④个代入第③个式子，并根据简单关系lu=l′u′=hlu=l'u'=hlu=l′u′=h,可以得到三个有意思的式子：

n(1r−1l)=n′(1r−1l′)=Q−−−−(6)n({1\over r} - {1\over l})=n'({1\over r} - {1\over l'})=Q----(6) n(r1−l1)=n′(r1−l′1)=Q−−−−(6)
n′u′−nu=(n′−nr)h−−−−(7)n'u'-nu=({n'-n\over r})h----(7) n′u′−nu=(rn′−n)h−−−−(7)
n′l′−nl=n′−nr−−−−(8){n'\over{l'}} -{n\over{l}}={n'-n\over r}----(8) l′n′−ln=rn′−n−−−−(8)
式(6)表示成不变量形式，称为阿贝不变量，用字母 Q 表示。对于一个折射球面，物空间和像空间的 Q 值是相同的，其数值随共辄点的位置而异。此式在"像差理论"中有重要用途。Q 的单位应为 mm一一般只写数值，不写单位，在具体运算中要把单位考虑进去。

式(7)表示近轴光折射前后的角 u和 u’ 的关系。式(8)表示折射球面的物像位置 l和l’之间的关系。己知物或像的位置 l或l’，可以求出其相应共辄的像或物的位置 l和 l’。

以上三式只是一个公式的三种表示形式，在不同场合下应用较为方便，知其一便知其二，类似情况在光学中是很多的。

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