逻辑代数常用公式及其推导

2024-04-12 14:22:36

一、基本公式

1、变量与常量运算规则：

0*A = 0	0+A = A
1*A = A	1+A = 1

2、重叠率：

A*A = A

A+A = A

3、互补率：

A*A' = 0

A+A' = 1

4、交换率、结合律、以及分配律

AB = BA	A+B = B+A
A(BC) = (AB)C	A+(B+C) = (A+B)+C
A(B+C) = AB+A*C	*A+BC = (A+B)(A+C)*

5、反演律：

(A*B)` = A`+B`

(A+B)` = A`*B`

6、还原律：

(A`)` = A

二、常用公式

1、A+A*B = A

2、A+A`*B = A+B

由：A+B*C = (A+B)*(A+C)

得：A+A`*B = (A+A`)*(A+B) = (A+B)

3、A*B+A*B` = A

4、A*(A+B) = A

5、A*B + A`*C + B*C = A*B + A`*C；

A*B + A`*C + B*C*D = A*B + A`*C

证明：A*B + A`*C + B*C*D = A*B + A`*C + A*B*C*D + A`*B*C*D = AB(1+CD) + A`C(1+BD) = AB + A`C;

6、A*(A*B) `= A*B`；

A`*(AB)` = A`;

三、定理

1、带入定理

在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。

2、反演定理

对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的*换成+，+换成*，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y`，即反演定理。

注意：不属于单个变量上的反号保留不变。

3、对偶定理

若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，即对偶定理。

对偶式：对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的*换成+，+换成*，0换成1，1换成0，则得到的结果就是Y的对偶式。

四、参考

《数字电子技术基础》，阎石版。

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