陶哲轩实分析 5.5 节习题试解

5.5.1 设 E \mathrm{E} 是 R \mathbb R 的一个非空子集， E \mathrm{E} 有最小上界 M M，它是个实数，即 M=sup(E)M = \sup(\mathrm{E})。令 −E -\mathrm{E} 为集合： −E={−x:x∈E} -E =\{-x: x \in \mathrm{E}\}，证明 −M=inf(−E) -M = \inf(-\mathrm{E})

先证明 −M -M 为下界。
反证法：
假设 −M -M 不是下界，也就是说存在一个 −x0∈−E -x_0 \in -\mathrm{E} 满足 −x0<−M -x_0 。
所以 x0>M,x0∈E x_0 > M, x_0 \in \mathrm{E} 这与 M M 是 E\mathrm{E} 的上界矛盾。所以 −M -M 是下界。

再证明 −M -M 是最大下界。
反证法：
假设 −M -M 不是最大下界，也就是说存在 −M′ -M' 满足 −M′<−M -M' ，并且 ∀−x∈−E,−x>−M′ \forall -x \in -\mathrm{E}, -x > -M'
那么有 ∀x∈E,x<M′ \forall x \in \mathrm{E}, x 这与 M M 是 E\mathrm{E} 的最小上界矛盾。
所以 −M -M 是最大下界。

5.5.2 设 E \mathrm{E} 是 R \mathbb R 的一个非空子集， n≥1 n \geq 1 是整数，并且 L<K L 是两个整数。假设 K/n K/n 是 E \mathrm{E} 的上界，但 L/n L / n不是 E \mathrm{E} 的上界。证明存在整数 m,L<m≤K m, L 使得 m/n m/n 是 E \mathrm{E} 的上界，但 (m−1)/n (m-1)/n 不是 E \mathrm{E} 的上界。

反证法：
假设不存在这样的整数，也就是对于任意 L<m≤K L 要么 m/n m/n 和 (m−1)/n (m-1)/n 同是 E \mathrm{E} 的上界，要么同不是 E E 的上界。

当 m=L+1m = L + 1时，因为 (m−1)/n=L/n (m-1)/n = L/n 不是 E E 的上界，所以 (L+1)/n(L+1)/n 也不是 E \mathrm{E} 的上界，所以 (L+2)/n (L+2)/n 也不是 E \mathrm{E} 的上界……
用数学归纳法可以证明任意 L<m≤K L 都有 m/n m/n 不是 E \mathrm{E} 的上界。
上面已经证明了 m=L+1 m = L + 1 时 m/n m/n 不是 E \mathrm{E} 的上界。
假设对 m=p,L<p≤K m = p, L

时， p/n p/n 不是 E \mathrm{E} 的上界成立。
那么对于 m=p+1 m = p+1 时，由于 (m−1)/n=p/n (m-1)/n = p/n 不是 E \mathrm{E} 的上界。所以 (p+1)/n=m/n (p+1)/n = m/n 也不是 E \mathrm{E} 的上界。
所以任意 L<m≤K L 都有 m/n m/n 不是 E \mathrm{E} 的上界。
而这与 K/n K/n 是 E \mathrm{E} 的上界矛盾。所以一定存在这样的整数 L<m≤K L 满足 m/n m/n 是 E \mathrm{E} 的上界，但 (m−1)/n (m-1)/n 不是 E \mathrm{E} 的上界。

5.5.3 设 E \mathrm{E} 是 R \mathbb R 的一个非空子集， n≥1 n \geq 1 是整数，并设 m,m′ m, m' 是具有下述性质的整数： m/n m/n 和 m′/n m'/n 是 E \mathrm{E} 的上界， (m−1)/n (m-1)/n 和 (m′−1)/n (m'-1)/n 不是 E \mathrm{E} 的上界。证明 m=m′ m = m'。

证明，根据上界的性质，有：

mn>m′−1nm′n>m−1n

\frac{m}{n} > \frac{m'-1}{n}\\ \frac{m'}{n} > \frac{m-1}{n}

所以：

m>m′−1m′>m−1

m > m'-1\\ m' > m - 1

假设 m≠m′ m \neq m'
那么

m>m′−1⇒m>m′m‘>m−1⇒m′>m

m > m'-1 \Rightarrow m > m' \\ m‘ > m-1 \Rightarrow m’ > m
导致矛盾，所以 m=m′ m = m'。

5.5.4 设 q1,q2,q3,⋯ q_1, q_2, q_3, \cdots 是比例数序列，并具有这样的性质：只要 M≥1 M \geq 1 是整数，并且 n,n′≥M n, n' \geq M，就有 |qn−qn′|≤1M |q_n - q_{n'}| \leq \frac{1}{M}。证明 q1,q2,q3,⋯ q_1, q_2, q_3, \cdots 是 Cauchy 序列，进而证明：如果 S:=LIMn→∞qn S:=\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} q_n，那么对于每个 M≥1 M \geq 1，都有 |qM−S|≤1/M |q_M - S| \leq 1/M

先证明 q1,q2,q3,⋯ q_1, q_2, q_3, \cdots 是 Cauchy 序列。
对于任意的 ε>0 \varepsilon > 0 都存在一个自然数 N N 满足：

N>1ε1N<ε

N > \frac{1}{\varepsilon}\\ \frac{1}{N}

当 n,n′>N n, n' > N 时，有

|qn−qn′|≤1N<ε

|q_n - q_{n'}| \leq \frac{1}{N}
所以 q1,q2,q3,⋯ q_1, q_2, q_3, \cdots 是 Cauchy 序列。

证明如果 S:=LIMn→∞qn S:=\mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} q_n，那么对于每个 M≥1 M \geq 1，都有

|qM−S|≤1M

|q_M - S| \leq \frac{1}{M}

对任意的自然数 M M，qMq_M 等价于 Cauchy 序列 qM,qM,qM,⋯ q_M, q_M, q_M, \cdots
所以 |qM−S| |q_M - S| 等价于 Cauchy 序列 |qM−q1|,|qM−q2|,|qM−q3|,⋯ |q_M - q_1|, |q_M - q_2|, |q_M - q_3|, \cdots
我们知道一个 Cauchy 序列去掉前面有限项之后得到的序列是与原序列等价的。
所以 |qM−S| |q_M - S| 等价于 Cauchy 序列 |qM−qM+1|,|qM−qM+2|,|qM−qM+3|,⋯ |q_M - q_{M+1}|, |q_M - q_{M+2}|, |q_M - q_{M+3}|, \cdots
设 pn=|qM−qM+n| p_n = |q_M - q_{M+n}| ，那么 |qM−S|=LIMn→∞pn |q_M - S| = \mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} p_n
对任意的正整数 n n，都有 pn≤1/Mp_n \leq 1/M，所以 LIMn→∞pn≤1/M \mathrm{LIM}_{n \rightarrow \infty} p_n \leq 1/M，即：

|qM−S|≤1M

|q_M - S| \leq \frac{1}{M}