圆周上任意取三点组成直角三角形的概率为0

圆周上任意取三点组成直角三角形的概率为0！

不失一般性，我们在一个单位圆上做分割，下图中两点之间的弧长用对应的字母表示：

这时，根据圆周角与所夹弧长的关系可以把该问题转化为几何概型：

三角形为锐角三角形的充要条件是三条弧长都小于π\piπ；
三角形为直角三角形的充要条件是三条弧长只有一条等于π\piπ；
三角形为钝角三角形的充要条件是三条弧长只有一条大于π\piπ。

将几何概型表现在坐标轴上：

其中，ΔAOB\Delta AOBΔAOB的所围成区域的点集表示了全概率空间，S3S_3S3表示组成锐角三角形的事件，根据面积比可以得到概率为S3SΔAOB=14\frac{S_3}{S_{\Delta AOB}}=\frac{1}{4}SΔAOBS3=41; 而三条红线在ΔAOB\Delta AOBΔAOB中所截断线段的长度代表组成直角三角形的事件，其概率为0；S1+S2+S4S_1+S_2+S_4S1+S2+S4表示组成钝角三角形的事件，其概率为34\frac{3}{4}43.

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