圆上任意角度的点的坐标

如上图，给定圆心（Cx,Cy）,半径为R，求θ\thetaθ对应的点的坐标？此处θ\thetaθ是相对于水平轴的角度。

显然我们可以使用极坐标转换来求：
{px=Cx+Rcos(θ)py=Cy+Rsin(θ)\left\{\begin{matrix} px= Cx+Rcos(\theta) \\ py= Cy+Rsin(\theta) \end{matrix}\right. {px=Cx+Rcos(θ)py=Cy+Rsin(θ)
注意如果以上竖直坐标系向下，此时变为图像的坐标系，即

结果变成：

{px=Cx+Rcos(θ)py=Cy−Rsin(θ)\left\{\begin{matrix} px= Cx+Rcos(\theta) \\ py= Cy-Rsin(\theta) \end{matrix}\right. {px=Cx+Rcos(θ)py=Cy−Rsin(θ)
仅仅是y变了。

椭圆上任意角度的点的坐标

首先我们先来考虑标准椭圆上任意角度的点的坐标，再进行推广。

已知主轴a（即椭圆箭头所指方向对应的轴）,次轴b,求解与水平轴相交θ\thetaθ对应的点的坐标？
{x2a2+y2b2=1yx=tan⁡(θ)\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=&1 \\ \frac{y}{x}& =& \tan(\theta) \end{matrix}\right. {a2x2+b2y2xy==1tan(θ)
将上面的第二式带入第一式，可以求解得到：
x2=a2b2b2+a2tan⁡2(θ)x^2=\frac{a^2b^2}{b^2+a^2\tan^2(\theta)} x2=b2+a2tan2(θ)a2b2
这时我们考虑θ\thetaθ的范围，可以得到：
(一). 0≤θ<pi/20\leq\theta<pi/20≤θ<pi/2 或者 3∗pi2<θ≤2∗pi\frac{3*pi}{2}<\theta \leq 2*pi23∗pi<θ≤2∗pi
{x=abb2+a2tan⁡2(θ)y=abtan⁡(θ)b2+a2tan⁡2(θ)\left\{\begin{matrix} x=\frac{ab}{\sqrt{b^2+a^2\tan^2(\theta)}} \\ y=\frac{ab\tan(\theta)}{\sqrt{b^2+a^2\tan^2(\theta)}} \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧x=b2+a2tan2(θ)aby=b2+a2tan2(θ)abtan(θ)
(二). pi/2<θ<3∗pi2pi/2<\theta<\frac{3*pi}{2}pi/2<θ<23∗pi
{x=−abb2+a2tan⁡2(θ)y=−abtan⁡(θ)b2+a2tan⁡2(θ)\left\{\begin{matrix} x=-\frac{ab}{\sqrt{b^2+a^2\tan^2(\theta)}} \\ y=-\frac{ab\tan(\theta)}{\sqrt{b^2+a^2\tan^2(\theta)}} \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧x=−b2+a2tan2(θ)aby=−b2+a2tan2(θ)abtan(θ)
(三). θ=pi/2\theta = pi/2θ=pi/2
{x=0y=b\left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=b \end{matrix}\right. {x=0y=b
(四). θ=3∗pi2\theta = \frac{3*pi}{2}θ=23∗pi
{x=0y=−b\left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=-b \end{matrix}\right. {x=0y=−b
再考虑一般情况下的椭圆，如下：

如上θ∈[0,2∗pi]\theta\in[0,2*pi]θ∈[0,2∗pi]是相对于主轴的角度，α∈[−pi,pi]\alpha\in[-pi,pi]α∈[−pi,pi], 不过我们一般仅仅考虑α∈[0,pi]\alpha\in[0,pi]α∈[0,pi],求θ\thetaθ对应的点的坐标？

基本思路就是先转换成标准椭圆，再应用标准椭圆下的结果。

显然我们需要将以上椭圆的中心移到原点，再绕原点旋转−α-\alpha−α ,即顺时针旋转α\alphaα，即：
(xy)=R((XY)−(XcYc))\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=R(\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} X_c\\Y_c \end{pmatrix}) (xy)=R((XY)−(XcYc))
其中
R=(cos(−α)−sin(−α)sin(−α)cos(−α))=(cos(α)sin(α)−sin(α)cos(α))R=\begin{pmatrix} cos(-\alpha) &-sin(-\alpha) \\ sin(-\alpha) & cos(-\alpha) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) &sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} R=(cos(−α)sin(−α)−sin(−α)cos(−α))=(cos(α)−sin(α)sin(α)cos(α))
因此
(XY)=R−1(xy)+(XcYc)\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix} =R^{-1}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} X_c\\Y_c \end{pmatrix} (XY)=R−1(xy)+(XcYc)
其中
R−1=RT=(cos(α)−sin(α)sin(α)cos(α))(★)R^{-1}=R^{T}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) &-sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\bigstar) R−1=RT=(cos(α)sin(α)−sin(α)cos(α)) (★)
这样将前面(xy)\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}(xy) 的四个结果应用过来，即得到倾斜的椭圆上的对应角度的点的坐标。

扩展：

如果以上的角度是相对于水平轴的角度，则对应的椭圆上的点的坐标如何求呢？
答：其实很简单，只需要：
θ′={θ−α+2∗pi,θ<αθ−α,θ≥α\theta'=\left\{\begin{matrix} \theta-\alpha+2*pi, & \theta<\alpha \\ \theta-\alpha, & \theta \geq \alpha \end{matrix}\right. θ′={θ−α+2∗pi,θ−α,θ<αθ≥α
将θ′\theta'θ′替换以上标准椭圆下的θ\thetaθ即可。
如果竖直坐标轴为竖直向下的，即为图像坐标系下的椭圆，那么如何求对应的角度？
答：
需要做两方面的改变即可：
{α→−αy→−y\left\{\begin{matrix} \alpha\rightarrow -\alpha\\ y\rightarrow -y \end{matrix}\right. {α→−αy→−y
第一行改变★\bigstar★出的α\alphaα. 第二行改变标准椭圆下的y值的符号。

matlab代码

demo.m
################################
center_x=282;
center_y=263;
phi=pi/6;
R1=141;
R2=62;
%DrawEllipse([center_x,center_y],R1,R2,phi);
axis equal;
hold on;
set(gca,'ydir','reverse')
for angle=linspace(0,3*pi/2,360)[ px,py ] = get_points_ellipse(center_x, center_y,phi,R1,R2, angle );plot(px,py,'ro');hold on;
end
axis([0,500,0,500])

function [ px,py ] = get_points_ellipse(center_x, center_y,phi,R1,R2, angle )
% 求椭圆某个角度上的点的坐标。
%https://math.stackexchange.com/questions/22064/calculating-a-point-that-lies-on-an-ellipse-given-an-angle
%https://blog.csdn.net/xiamentingtao/article/details/54934467%https://stackoverflow.com/questions/17762077/how-to-find-the-point-on-ellipse-given-the-angle
%另一种解法  从极坐标的角度出发。% 椭圆参数  圆心 (center_x.center_y) 角度 phi(-pi,pi)，实际上仅考虑（0，pi） 沿着角度的主轴半径R1，另一主轴对应的半径R2
% 求相对于水平轴x轴上angle（基于0-2pi之间）上对应的点坐标。
% 注意求解的坐标系为：水平向右为x轴,竖直向上为y轴。 如果竖直向下为y轴，则下面的y应该变换成-y， phi变成-phi%先将斜的椭圆转正，并平移到原点。方法就是平移到中心，且旋转-phi角度,再应用标准椭圆求取点。
if(angle<phi)theta = angle-phi+2*pi;  %想对于主轴的角度
elsetheta = angle-phi;
end
% theta为相对于主轴的角度
alpha = -phi;    %与竖直的轴有关，如果是竖直向上，则变为正phi
% 先计算标准椭圆 x^2/R1^2+y^2/R2^2=1  与 直线 y/x=tan(angle)的交点。
assert(angle>=0 && angle<=2*pi);
if(theta==pi/2)x=0;y=R2;
elseif(theta==pi*3/2)x=0;y=-R2;
elseif(theta>pi/2 && theta<pi*3/2)x=-R1*R2/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);y=-R1*R2*tan(theta)/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);
elsex=R1*R2/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);y=R1*R2*tan(theta)/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);
endy=-y;    %与竖直的轴有关，如果是竖直向上，则变为正y
% 将以上结果转换回去
px= cos(alpha)*x-sin(alpha)*y+center_x;
py=sin(alpha)*x+cos(alpha)*y+center_y;end

function DrawEllipse(C,a,b,alpha)
% DRAWELLIPSE plots an ellipse
%   DrawEllipse(C,a,b,alpha) plots ellipse with center C, semiaxis a
%   and b and angle alpha between a and the x-axiss=sin(alpha); c=cos(alpha);
Q =[c -s; s c]; theta=[0:0.02:2*pi];
u=diag(C)*ones(2,length(theta)) + Q*[a*cos(theta); b*sin(theta)];
plot(u(1,:),u(2,:));
hold on;
plot(C(1),C(2),'+');

显示结果，起点对应着角度为0。

另一种基于极坐标变换的高效实现【转载】

转载： https://blog.csdn.net/he_zhidan/article/details/81347426
根据“圆心角”弧度（函数会将圆心角转成离心角），获取斜椭圆上的点坐标。ptCenter，椭圆中心；a椭圆长轴长度;b,椭圆短轴长度;radian，点于椭圆长轴夹角的弧度;dChangZhouAngle，长轴弧度

CDoublePoint2d GetPointOnEllipse(const CDoublePoint2d& ptCenter, double a, double b, double radian, double dChangZhouAngle)
{
const double dLiXin = atan2(asin(radian), bcos(radian));//离心角
double x = a*cos(dLiXin)cos(dChangZhouAngle) - bsin(dLiXin)sin(dChangZhouAngle) + ptCenter.x;
double y = acos(dLiXin)sin(dChangZhouAngle) + bsin(dLiXin)*cos(dChangZhouAngle) + ptCenter.y;
return CDoublePoint2d(x, y);
}

问题：

一，为什么不用atan？

答：atan的范围是[-π/2,π/2]，atan2的范围是(-π,π]。前者只能表示两个象限，后者可以表示4个。

二，为什么不atan2(a*tan(radian),b)?

答：这样写，和用atan的效果一样。

参考文献

https://math.stackexchange.com/questions/22064/calculating-a-point-that-lies-on-an-ellipse-given-an-angle （主要参考这个）
https://stackoverflow.com/questions/17762077/how-to-find-the-point-on-ellipse-given-the-angle （这里有一个从极坐标变换角度新的推导）
https://blog.csdn.net/xiamentingtao/article/details/54934467

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