问题

在一个圆环上随机取3点，求这3个点组成一个锐角三角形的概率

题解

如下图所示：

取单位圆上任意不同两点A和B，A、B两点确定以后，点A、B、C三点要够成锐角三角形，点C必须在DE之间，否在将构成直角三角形（点C与点D或点E重合）或钝角三角形。设AB弧所对应的圆心角为\(\theta\),则当且仅当\(\theta \in (0, \pi)\) 时有可能构成锐角三角形。\(\theta\) 的概率密度是 \(\frac{1}{\pi}\)，此时组成锐角三角形需要C点在AB对应的DE段间的概率是 \(\frac{\theta}{2\pi}\)。故在一个圆环上随机添加3点，三个点组成一个锐角三角形的概率为
\[\int_0^\pi \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\theta}{2\pi}\mathrm{d}\theta = \frac{\theta ^ 2}{4\pi ^ 2}\bigg|_0^\pi = \frac{1}{4}\]

Python 代码模拟

#! /usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-# @Author: wzdnzdimport numpy as npdef simulate(n):# 圆心角θ所对应的弦长 l = 2 * R * sin(θ/2), R为圆的半径def compute(theta):if theta > np.pi:theta = 2 * np.pi - thetareturn 2 * np.sin(theta / 2)# 根据三角形三条边的平方关系判断是否是锐角、直角或钝角三角形def judge(array):if len(array) != 3:raise ValueError('len(array) must be 3.')if array[0] ** 2 + array[1] ** 2 > array[2] ** 2:return -1elif array[0] ** 2 + array[1] ** 2 == array[2] ** 2:return 0else:return 1acute, right, obtuse = 0, 0, 0for _ in range(n):angles = sorted(np.random.rand(3) * 2 * np.pi)chords = sorted([compute(angles[1] - angles[0]),compute(angles[2] - angles[1]), compute(2 * np.pi + angles[0] - angles[2])])flag = judge(chords)if flag == -1:acute += 1elif flag == 0:right += 1else:obtuse += 1return [x / n for x in [acute, right, obtuse]]if __name__ == "__main__":probabilities = simulate(100000)print('acute: {}\tright: {}\tobtuse: {}'.format(probabilities[0], probabilities[1], probabilities[2]))

运行结果如下：

acute: 0.25009  right: 0.0      obtuse: 0.74991