欧几里德算法+拓展欧几里德算法

欧几里德算法一般简写为GCD，即辗转相除求最大公因数，模板为

ll gcd(ll a,ll b)
{return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

由于这种求的方法适用于大数，所以一般数据类型采用long long int。

基于欧几里德算法，延伸出了拓展欧几里得算法，用于解决线性同余方程的问题，首先什么是线性同余方程，百度定义如下：在数论中，线性同余方程是最基本的同余方程，“线性”表示方程的未知数次数是一次，即形如： ax≡b (mod n)的方程。此方程有解当且仅当 b 能够被 a 与 n 的最大公约数整除（记作 gcd(a,n) | b）。这时，如果 x0 是方程的一个解，那么所有的解可以表示为： {x0+kn/d|(k∈z)} 其中d = gcd(a,n)。在模 n 的完全剩余系 {0,1,…,n-1} 中，恰有 d 个解。

由上面的定义不难发现，只要有线性同余方程的一个特解，那么我们就可以求出其余的解，现在
问题就转化为如何求出方程的一个特解。

首先，由裴蜀定理（对任何整数a，b，m，关于未知数x,y的裴蜀等式ax +by = m, 当且仅当m为(d=gcd(a,b)）的倍数时有整数解）知：ax + by = gcd(a,b)

根据这个式子来进行一定的推导，参考我们用一般欧几里德算法的模板时，递归的终点是当b=0时，所以这个时候我们也先来推导终点的情况,。当b=0时，等式就化为ax=gcd(a,0)，而由一般欧几里德算法递归过程可知gcd(a,0)=gcd(0,a%0)=a，所以此时的解为X=1 Y=任何值，方便起见我们取Y=0，于是解为X=1 Y=0，这就是递归终点的值。

之后我们再来讨论一般情况，也就是a!=0&&b!=0的情况。一般等式为ax+by = gcd(a,b)，如果取这个情况下的解为X1 Y1，于是有：gcd(a,b) = a * x1 + b * y1，利用一般欧几里德算法的模板，得到式子gcd(a,b)=gcd(b, a%b)，同理再取gcd(b, a%b)=ax2+by2，而a%b又可以表示为 a%b = a-int(a/b)*b，于是得到这四个式子，联立得到 a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a-int(a/b)*b) *y2，化简后为a * x1 + b * y1 = a * y2 + b * ( x2 –int(a/b) *y2 )，从这个式子中不难发现下面的结论：

      x1 = y2     y1 = ( x2 – int(a/b) *y2 )

这个结论是我们递归的第一层得出来，就是说这个式子的解是由第二层递归的值决定的，那么就需要继续递归下去，直到我们之前求得的递归终点为止，递归终点的XY值已经求出来了，那么需要的就是一层一层向上计算，最后就得出了ax+by = gcd(a,b)的特解。

当然，根据裴蜀定理，式子右边也可以是gcd(a,b)的倍数，这种情况下做个除法就好了，其余方法是一样的，化简后按照这个计算就行了。得到了特解后，我们就可以按照通解的定义进行后续的各类计算了。

模板如下：

long long int EXgcd(long long int a,long long int b)
{if(b==0){X=1;Y=0;return a;}else{int r=EXgcd(b,a%b);int t=X;X=Y;Y=t-a/b*Y;return r;}
}

针对这个模板，还有一部分容易看不懂的地方，这个函数是普通GCD的升级版，函数的返回值依然是最大公因数，这一点可以继续用，升级之处在于这个函数在递归的同时，还顺便把通解求出来了，存在了X Y上，如果用的话用这两个值即可。也就是说，在使用时，完全可以直接用拓展欧几里德的模板来代替普通的GCD。

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