leetcode - 837. 新21点

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。

示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。

示例3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

提示：

0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game
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解题思路：根据leetcode官方解题思路，使用动态规划，设dp[i]表示从第i个数开始，经过若干轮之后，这个数的值在k到n之间的概率。

根据题意，当初始值i在k到n之间时，dp[i]=1，表示在从k到n之间的任意一个数，其位于k到n之间的概率为1，这也是我们代码中初始化的依据。

对于k到n之间的点，我们得到了其初始化的概率，那么对于值为k-1的数，其值不在k到n之间，那么它需要走一步才能到达k到n之间。但是这里存在一种情况，就是w的值可能大于n-k的值，也就是说k-1+w的值可能大于n，这样得到的值不是我们想要的，得让其概率表示为0；还有一种情况是w的值小于n-k，那么d[k-1]的值就是1了，表示值为k-1的点到k和n之间的概率为1。

对于dp[i]，其概率计算公式为dp[i]=1w∗(dp[i+1]+dp[i+2]+...+dp[i+w])dp[i]=\frac{1}{w}*(dp[i+1]+dp[i+2]+...+dp[i+w])dp[i]=w1∗(dp[i+1]+dp[i+2]+...+dp[i+w])，也就是说dp[i]的概率值是有其后面的w个数的概率值来决定的。

但是上面我们也说过了，w和n-k有两种情况，因此在初始化k到n的概率的时候，我们需要更多的内存来表示。具体来说，就是建立数组

vector<double> dp(n+w+1);  //为什么创建的数组不是dp(n+1)而是dp(n+w+1),下面代码中会有分析和解释
for(int i=k;i<=n;i++)  //这里表示从k到n的dp[i]的概率表示为1
{dp[i] = 1;
}
//因为每个dp[i]考虑的是其后面的w个数字的概率值，因此使用一个sum计算其后面w个数的概率值之和
//考虑到w和n-k的两种关系，对于k-1这个数，如果w>n-k，那么其实k-1下一步在k到n之间的概率值为w/(n-k),sum的值就表示n-k+1
//对于k-1这个数，如果w>n-k，那么其实k-1下一步在k到n之间的概率值为1，sum的值就表示w
if(w>=n-k+1)sum = double(n-k+1);
elsesum = w;

这样我们就确定了dp[k-1]的概率值，对于dp[k-2]，其对应的概率值可以表示为dp[i]=1w∗(sum+dp[i]−dp[i+w])dp[i] = \frac{1}{w}* (sum + dp[i] - dp[i+w])dp[i]=w1∗(sum+dp[i]−dp[i+w])。因为w表示所有可能走的步长，因此每一次迭代更新，只要加上最新的一个，并且减去最后的一个就可以得到我们需要的结果。但是前面说了，因为w和n-k之间存在两种情况，因此为了方面迭代，初始化数组的时候使用了vector dp(n+w+1); 目的就是保证在两种情况下的计算。

其具体的c++代码如下：

class Solution {public:double new21Game(int n, int k, int w) {vector<double> dp(n+w+1);  //初始化数组，注意是n+w+1而不是n+1double sum=0;  //用于计算w个数对应的概率值之和for(int i=k;i<=n;i++)   //将k到n之间的概率值表示为1{dp[i] = 1;}if(w>=n-k+1)  //如果w>=n-k+1,sum初始化为n-k+1，意思是w种选择中只有n-k+1种符合需求sum = double(n-k+1);else    //如果如果w<n-k+1，sum初始化为w，意思是w种选择都符合需求sum = w;for(int i=k-1;i>=0;i--){dp[i] = sum/double(w);  //首先计算dp[k-1]的对应的概率值sum = sum + dp[i] - dp[i+w];  //然后以k-1这个数为起点，sum加上dp[k-1]的值，减去dp[k-1+w]的值，作为sum的新一轮迭代的值}return dp[0];}
};

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