前言

本文主要内容是分享博主在学习MATLAB插值与拟合过程中的一些笔记与见解，并记录使用代码实现的过程

一、一维插值问题的描述

一维插值问题可描述为：已知函数在 x 0 , x 1 , … , x n x_0,x_1,…,x_n x0,x1,…,xn处的值 y 0 , y 1 , … , y n y_0,y_1,…,y_n y0,y1,…,yn,求简单函数 p ( x ) p(x) p(x),使 p ( x i ) = y i . p(x_i)=y_i. p(xi)=yi.
通俗来说，即已知函数在某区间内若干点处的值，求函数在该区间内其他点处的值。
PS：这里可以用范德蒙行列式和克莱姆法则证明，在 x 0 , x 1 , … , x n x_0,x_1,…,x_n x0,x1,…,xn处取值为 y 0 , y 1 , … , y n y_0,y_1,…,y_n y0,y1,…,yn的多项式存在且唯一，即插值问题的解唯一存在。（相关内容见线性代数）

二、常用插值方法

1.Lagrange插值法

Lagrange(拉格朗日)插值公式，指的是在节点上给出节点基函数，然后做基函数的线性拟合，组合系数为节点函数值的一种插值多项式。
假设，我们已知函数 f ( x ) f(x) f(x)在平面坐标系上有3个点，坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1), ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2), ( x 3 , y 3 ) (x_3,y_3) (x3,y3)，可以分别根据这三个点找出节点基函数。例如，首先作出基函数 f 1 f_1 f1的图像，经过 ( x 1 , 1 ) (x_1,1) (x1,1), ( x 2 , 0 ) (x_2,0) (x2,0), ( x 3 , 0 ) (x_3,0) (x3,0)这三个点，同理可作出 f 2 f_2 f2分别经过点 ( x 1 , 0 ) (x_1,0) (x1,0), ( x 2 , 1 ) (x_2,1) (x2,1), ( x 3 , 0 ) (x_3,0) (x3,0)以及 f 3 f_3 f3。通过寻找这三组基函数的线性组合，我们不难发现原函数可以写出如下形式：
f ( x ) = y 1 f 1 ( x ) + y 2 f 2 ( x ) + y 3 f 3 ( x ) f(x)=y_1f_1(x)+y_2f_2(x)+y_3f_3(x) f(x)=y1f1(x)+y2f2(x)+y3f3(x)上式可推广为: f ( x ) = ∑ i = 0 k y i ∏ j ≠ 1 x − x j x i − x j f(x)=\sum_{i=0}^{k}{y_i\prod_{j\ne1}\frac {x-x_j} {x_i-x_j}} f(x)=i=0∑kyij=1∏xi−xjx−xjLagrange插值多项式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但是其缺点在于当插值节点增减时，全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，在实际计算中很不方便。

2.Newton插值法

Newton（牛顿）插值法相对于拉格朗日插值法具有承袭性的优势，即在增加额外的插值点时，可以利用之前的运算结果以降低运算量。
假设已知n+1个点相对多项式函数 f f ff ff的值为： ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) , ( x 2 , f ( x 2 ) ) , ⋯ , ( x n , f ( x n ) ) (x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),⋯,(x_n,f(x_n)) (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),⋯,(xn,f(xn))，求此多项式函数 f f f.
先从求满足两个点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) (x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)) (x0,f(x0)),(x1,f(x1))的函数 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)说起：
假设 f 1 ( x ) = f ( x 0 ) + b 1 ( x − x 0 ) f_1(x)=f(x_0)+b_1(x−x_0) f1(x)=f(x0)+b1(x−x0)，
我们增加一个点， ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) , ( x 2 , f ( x 2 ) ) (x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)) (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，求满足这三个点的函数 f 2 ( x ) f_2(x) f2(x):
假设 f 2 ( x ) = f 1 ( x ) + b 2 ( x − x 0 ) ( x − x 1 f_2(x)=f_1(x)+b_2(x−x_0)(x−x_1 f2(x)=f1(x)+b2(x−x0)(x−x1)，
以此类推，我们得到Newton插值法的函数为：

其优点在于：每增加一个点，不会导致之前的重新计算，只需要算和新增点有关的就可以了。

三、高次插值的Runge现象

在研究插值问题的初期，所有人都想当然地认为插值多项式的次数越高，插值精度越高。
Runge通过研究发现有的情况下，并非插值多项式阶数越高结果就越精确。当插值多项式的次数较高时，结果会出现严重的振荡现象，称之为Runge现象。
例如，我们在均匀节点上对Runge函数
f ( x ) = 1 1 + 25 x 2 , x ∈ [ − 1 , 1 ] f(x)=\frac{1}{1+25x^2},x\in[-1,1] f(x)=1+25x21,x∈[−1,1]进行插值，（如图）红色曲线代表插值多项式的阶数为10时呈现的效果，可以看出，插值区间的边缘产生了严重的振荡现象，误差很大。因此，在实际中应避免使用高次的插值。通常为避免Runge现象，我们可以将插值区间分成若干小区间，在小区间内用低次插值，即分段低次插值，如样条函数插值。

四、Matlab插值

1、一维插值

当一组数据可以表示成平面坐标系上的点时，我们可以使用Matlab的一维插值命令:

yi=inter1(x,y,xi,'method')
%x,y为插值点，xi,yi为被插值点和结果，x,y和xi,yi通常为向量
%'method'表示插值方法：常用方法有'nearest''linear''spline''cubic'

‘nearest’——最邻近插值:插入与其距离最近的值
‘linear’——线性插值：构造线性函数进行插值
‘spline’——三次样条插值：将定义域分成若干个区间，在每个区间内构造三次多项式进行插值
‘cubic’——立方插值：构造立方函数进行插值
ps:'method’缺省时默认为线性插值

2、二维插值

当一组数据可以表示成空间坐标系上的点时，我们可以使用Matlab的二维插值命令:

yi=inter2(x,y,z,xi,yi,'method')
%x,y,z为插值点，xi,yi为被插值点,zi为输出的插值结果，即插值函数在（xi,yi）处的值；x,y为向量，xi,yi为向量或矩阵，而z和zi则为矩阵
%'method'表示插值方法：常用方法有'nearest''linear''spline''cubic'

‘nearest’——最邻近插值:插入与其距离最近的值
‘linear’——双线性插值：构造两组线性函数进行插值
‘spline’——双三次样条插值：将定义域分成若干个区间，在每个区间内构造三次多项式进行插值
‘cubic’——双立方插值：构造立方函数进行插值
默认为双线性插值

3、散乱点插值

当插值点（x,y）为散乱点，不再是网格上的点时，可以使用griddata命令进行二维插值：

griddata(x,y,z,xi,yi,'method')%'method'用法同上

总结

本文主要展示了数学建模中的一些插值方法及原理，并且基于Matlab进行实现的过程。由于作者也是在学习阶段，此篇文章仅供参考，欢迎大家指正！

参考资料

[1]【【零基础教程】老哥：数学建模算法、编程、写作和获奖指南全流程培训！】 https://www.bilibili.com/video/BV1kC4y1a7Ee?p=24&share_source=copy_web&vd_source=c62a50333f8ab9149f6acfdf0a7c31e7

[2]https://baike.baidu.com/item/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E6%8F%92%E5%80%BC%E6%B3%95/7085983

[3]https://zhuanlan.zhihu.com/p/138747068

数学建模学习笔记（一）:插值法相关推荐

【数学建模学习笔记【集训十天】之第六天】
数模学习目录 Matplotlib 学习 Matplotlib简介 Matplotlib 散点图运行效果如下: Matplotlib Pyplot 运行效果如下: 关于plot() 运行效果如下: ...
数学建模学习笔记（2.3）lingo软件求解线性规划问题
数学建模学习笔记(2.3)lingo软件求解线性规划问题 lingo软件的优势在于体积小,专注于解决优化问题且编程语言通俗易懂,没有门槛对于刚刚接触数学建模同学比较友善当然对于已经参与建模很久的 ...
数学建模学习笔记（1）数学模型的特点和分类
数学建模学习笔记(1)数学模型的特点和分类 ps:学习的教材为姜启源著的<数学模型(第四版)> 领取数模资料和更多内容请关注公众号:拾壹纪元传送门: 线性规划(LP)问题 https:/ ...
数学建模学习笔记之评价问题聚类分析法
数学建模学习笔记之评价问题聚类分析法物以类聚.人以群分. 聚类分析是一个很大的概念,显然根据分类的依据不同会出现很多很多聚类的方法.例如K-Means .Sequential Leader.Mode ...
数学建模学习笔记-概况
目录 1概况. 数学建模: 数学建模的模块: 一般步骤: 全过程: 论文的基本流程模块学习: 1.题目备战:掌握固定模式 2.摘要备战:总结归纳能力,通过看高水平论文掌握. 3.问题重述:切忌直接抄 ...
高数叔数学建模学习笔记(1)
此处将我在学习高数叔数学建模课程中遇到的代码记录下来,便于查看.学习. 5.matlab中的文件 wendu.m clear; f=input('temperature:'); c=5*(f-32)/ ...
数学建模学习笔记（二）:非线性规划模型例题与灵敏度分析
文章目录前言一.一个简单的非线性规划模型二.问题的求解 1.模型的建立与求解 2.得出结论三.灵敏度分析总结参考书目前言数学建模解决问题的过程一般分为五个步骤,称为五步方法,五个步骤如 ...
清风数学建模学习笔记——应用matlab实现分段三次埃尔米特（Hermite）插值与三次样条插值
插值算法数模比赛中,常常需要根据已知的函数点进行数据.模型的处理和分析,而有时候现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,模拟产生一些新的但又比较靠谱的值来满足需求 ...
数学建模学习笔记（十一）——预测模型
文章目录一.综述二.灰色预测简介三.GM(1, 1)模型四.使用灰色系统建模的前提 -- 准指数规律检验五.对于GM(1, 1)的检验六.GM(1, 1)模型的拓展七.什么时候使用灰色预 ...

数学建模学习笔记（一）:插值法

文章目录

前言