巴什博奕(Bash Game)入门

巴什博奕(Bash Game):

只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个.最后取光者得胜

结论：若(m+1) | n，则先手必败，否则先手必胜

显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜

因此我们发现了如何取胜的法则：

如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。

斐波那契博弈(Fibonacci Nim)

有一堆个数为n(n>=2)的石子，游戏双方轮流取石子，规则如下：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1颗；

2)之后每次可以取的石子数至少为1，至多为对手刚取的石子数的2倍。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态

结论：当n为Fibonacci数的时候，必败

用第二数学归纳法证明：

为了方便，我们将n记为f [ i ]

1、当i=2时，先手只能取1颗，显然必败，结论成立

2、假设当i<=k时，结论成立

则当i=k+1时，f[i] = f[k]+f[k-1]，则我们可以把这一堆石子看成两堆，简称k堆和k-1堆（一定可以看成两堆，因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1]，则后手可以直接取完f[k]，因为f[k] < 2f[k-1]）对于k-1堆，由假设可知，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗，如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于2y，即后手可以直接取完，此时x=f[k-1]-y，则x<=2/3f[k-1]，比较2/3f[k-1]与1/2f[k]的大小。即4f[k-1]与3f[k]的大小，对两值作差后不难得出，后者大。所以，x<1/2*f[k]，即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戏规则没有改变，则由假设可知，对于k堆，后手仍能取到最后一颗，所以后手必胜，即i=k+1时，结论依然成立。而对于n不是Fibonacci数的情况：

由“Zeckendorf定理”

[齐肯多夫定理]

https://90nwyn.blog.luogu.org/ji-ken-duo-fu-ding-li%EF%BC%89%EF%BC%9A)

任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和

n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我们令先手先取完f[ap]，即最小的这一堆。由于各个f之间不连续，则a(p-1) > ap + 1，则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。此时后手相当于面临这个子游戏（只有f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子同理可知，对于以后的每一堆，先手都可以取到这一堆的最后一颗石子，从而获得游戏的胜利。

威佐夫博奕(Wythoff Game):

有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜

我们用

(a [ k ] , b [ k ] ) ( a [ k ] ≤ b [ k ] , k = 0 ， 1 ， 2 ，… n )

来表示两堆物品的数量，并且称这个为局势

仔细思考可以发现先：

（0，0）（1，2）（3，5）（4 ，7）（6，10）（8，13）

这几种局势，无论先手怎么取都是后手赢，称为“奇异局势”

可以发现这些局势的差值是递增的，分别为 0,1,2,3,4,5,6,7…n，且每个奇异局势的第一个值是未在前面出现过的最小的自然数

性质：

1.任何自然数都包含在一个且仅有一个的奇异局势中

2.任何操作都会将奇异局势变成非奇异局势

3、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势

从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜；反之,则后拿者取胜

判断奇异局势：

黄金分割率为0.618，威佐夫博奕的优雅在于：

设局势(a,b)(a,b)的差为c，若a=c+c*0.618a=c+c∗0.618，则该局势为奇异局势

尼姆博奕(Nimm Game):

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜

用(a,b,c)表示某种局势，任何奇异局势都有a XOR b XOR c = 0

对于非奇异局势，假设 a < b < c，我们只要将 c 变为a XOR b，即可变为奇异局势，因为有如下的运算结果：

a XOR b XOR (a XOR b)=(a XOR a) XOR (b XOR b) = 0 XOR 0 = 0

要将c 变为a XOR b，只要对 c进行 c-(a XOR b)这样的运算即可

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