对于自由运动机器人来说，控制的目的是要控制机器人末端的位置和姿态（统一简称为位置），即所谓的位置控制问题。期望机器人末端达到的位置称为期望位置或期望轨迹，期望轨迹可以在机器人任务空间中给出，也可以通过逆运动学转化为机器人关节空间中的期望轨迹。期望轨迹通常有两种形式：一种是一个固定位置（setpoint），另一种是一条随时间连续变化的轨迹（trajectory）。

　　对于运动受限的机器人来说，其控制问题要复杂得多。由于机器人与环境接触，这时不仅要控制机器人末端位置，还要控制末端作用于环境的力。也就是说，不仅要使机器人末端达到期望值，还要使其作用于环境的力达到期望值。更广泛意义下的运动受限机器人还包括机器人协同工作的情况，这时控制还应包括各机器人间运动的协调，负荷的分配以及所共同夹持的负载所受内力的控制等复杂问题。

　　如下图所示，考虑单个电机与连杆的模型，其中$\tau$为电机施加的力矩，$\theta$是连杆与水平线的夹角：

　　则系统的动力学方程为：$$\tau=M\ddot{\theta}+mgr\cos\theta$$

　　$M$是连杆绕转轴的转动惯量，$m$是连杆的质量，$r$是转轴到连杆质心的距离，$g$是重力加速度。实际情况中转轴处会存在摩擦力，这里简单假设摩擦力为粘滞阻力，即$\tau_{fric}=b\dot{\theta}$，将阻力项加入上面的动力学方程中，模型变为：$$\tau=M\ddot{\theta}+mgr\cos\theta+b\dot{\theta}$$

　　可将其改写为：$$\tau=M\ddot{\theta}+h(\theta,\dot{\theta})$$

　　为进行仿真，设参数$M=0.5kg\cdot m^2$，$m=1kg$，$r=0.1m$，$b=0.1N\cdot m\cdot s/rad$，当连杆在平面上运动时$g=0$，当连杆垂直水平面运动时$g=9.81m/s^2$

•  PID控制

　　PID控制器时是最常用的反馈控制器。$$\boxed{\tau=K_p\theta_e+K_i\int\theta_e(t)dt+K_d\dot{\theta_e}}$$

　　其中比例系数$K_p$的作用就像一个虚拟弹簧，试图减小位置误差$\theta_e=\theta_d-\theta$；微分系数$K_d$的作用像虚拟阻尼器，试图减小速度误差$\dot{\theta_e}=\dot{\theta_d}-\dot{\theta}$；积分系数可以减小稳态误差。

•  PD控制器与误差的二阶方程

　　忽略积分项，即$K_i=0$，这就是PD控制。我们假设机器人在水平面上运动（g=0），将PD控制规则带入动力学方程中可得到$M\ddot{\theta}+b\dot{\theta}=K_p(\theta_d-\theta)+K_d(\dot{\theta_d}-\dot{\theta})$，如果给定的控制量$\theta_d$恒定，则$\dot{\theta_d}=\ddot{\theta_d}=0$，于是$\theta_e=\theta_d-\theta$，$\dot{\theta_e}=-\dot{\theta}$，$\ddot{\theta_e}=-\ddot{\theta}$。动力学方程可改写为误差$\theta_e$的二阶微分方程：$$M\ddot{\theta_e}+(b+K_d)\dot{\theta_e}+K_p\theta_e=0$$

　　将其改写为标准二阶形式：$$\ddot{\theta_e}+\frac{b+K_d}{M}\dot{\theta_e}+\frac{K_p}{M}\theta_e=0\rightarrow\ddot{\theta_e}+2\xi\omega_n\dot{\theta_e}+\omega_n^2\theta_e=0$$

　　阻尼比$\xi$和阻尼自然频率$\omega_n$为：$\xi=\frac{b+K_d}{2\sqrt{K_pM}}$、$\omega_n=\sqrt{\frac{K_p}{M}}$

•  PID控制器与误差的三阶方程

　　考虑连杆在垂直水平面的平面上转动（g>0），用上面的PD控制器，误差动力学方程可写为：$$M\ddot{\theta_e}+(b+K_d)\dot{\theta_e}+K_p\theta_e=mgr\cos\theta$$

　　这意味着稳态时$\theta$满足$K_p\theta_e=mgr\cos\theta$，即当$\theta_d\neq\pm\pi/2$时最终误差$\theta_e$不为零，因为机器人需要提供一个非零的力矩使连杆保持在$\theta_d\neq\pm\pi/2$这个位置。

　　设$K_p=2.205N\cdot m/rad$，$K_d=2N\cdot m\cdot s/rad$，连杆初始角度$\theta(0)=-\pi/2$，初始角速度$\dot{\theta}(0)=0$，期望角度$\theta_d=0$，期望角速度$\dot{\theta_d}=0$。根据所设置的参数在Mathematica中求解微分方程，结果如下：

　　稳态误差可求解方程$K_p(\theta_d-\theta)=mgr\cos\theta$求得，约为-0.408弧度，即稳态时与期望值相差23.4°

　　可以在VREP中仿真该过程，新建一个长度为0.2m的圆柱体，质量设为1kg，在圆柱体一段添加旋转关节，圆柱体X、Y轴的转动惯量设为0.49(根据转动惯量的平行轴定理，绕关节转动的转动惯量为0.5)。关节设为力矩模式，打开关节动力学属性对话框，设置PID参数和目标位置（90°）：

　　选择ODE物理引擎进行仿真，打开圆柱体动力学属性对话框，点击编辑材料（Edit material），在Angular damping中输入0.1（Angular damping：an angular movement damping value, that adds angular drag, and that can increase stability）。给关节添加阻力可参考Set internal friction of joints和Material properties。

　　添加Graph记录关节转角进行仿真，可以看出存在稳态误差：

　　为了消除稳态误差，设$K_i>0$，即使用PID控制器。积分控制的作用是消除稳态误差，因为系统只要存在误差，积分作用就不断地积累，输出控制量，直到偏差为零，积分作用才会停止。但积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。加入积分项后关于误差的微分方程为：$M\ddot{\theta_e}+(b+K_d)\dot{\theta_e}+K_p\theta_e+K_i\int\theta_e(t)dt=\tau_{dist}$，其中$\tau_{dist}$是重力项$mgr\cos\theta$。对该方程两边求导，可以得到误差的三阶微分方程：$$M\theta^{(3)}_e+(b+K_d)\ddot{\theta_e}+K_p\dot{\theta_e}+K_i\theta_e=\dot{\tau_{dist}}$$

　　如果$\tau_{dist}$为常量（比如稳态时），方程右边$\dot{\tau_{dist}}$项为零。使用拉普拉斯变换将时域中的微分方程转换为复数域中的代数方程：$$s^3+\frac{b+K_d}{M}s^2+\frac{K_p}{M}s+\frac{K_i}{M}=0$$

　　如果该特征方程根的实部全为负，则该系统稳定，且$\theta_e$趋于零。根据系统特征方程的劳斯判据，为了保证方程所有根的实部都为负，PID控制器的系数必须满足下列条件：$$\begin{align*}K_d&>-b\\K_p&>0\\\frac{(b+K_d)K_p}{M}>K_i&>0\end{align*}$$

　　因此$K_i$的值必须保证落在上下界限之内。通常先选择合适的$K_p$、$K_d$值加快暂态过程，然后调整$K_i$使其能大到消除稳态误差，又不至于过大而影响稳定性。画出根轨迹图（根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数从零变到无穷时，闭环特征根s在平面上移动的轨迹），可以看出当$K_i=(b+K_d)K_p/M$时两个根将到达虚轴，$K_i$继续变大根会进入复平面的右半部分，此时系统将变得不稳定。

　　PID控制的伪代码如下：

time = 0                          // dt = servo cycle time
eint = 0                          // error integral
qprev = senseAngle                // initial joint angle q

loop[qd,qdotd] = trajectory(time) // from trajectory generator
   q = senseAngle                // sense actual joint angleqdot = (q - qprev)/dt         // simple velocity calculationqprev = qe = qd - qedot = qdotd - qdoteint = eint + e*dttau = Kp*e + Kd*edot + Ki*eintcommandTorque(tau)time = time + dt
end loop

　　使用之前建立好的VREP模型，设置积分系数$K_i=1$后再进行仿真：

　　可以看出添加积分项后稳态误差消除（但是产生了超调量）：

　　实际上在许多机器人控制器中设$K_i=0$，即不使用积分项。因为相比稳态误差，稳定性才是最重要的考虑因素。

•  前馈控制（Feedforward Control）

　　PID控制不考虑机器人的动力学特性，只按照偏差进行负反馈控制，即只有在得到误差信号后才能输出控制量。另一种控制策略是根据机器人动力学模型预先产生控制力/力矩。动力学模型为：$$\tau=\widetilde{M}(\theta)\ddot{\theta}+\widetilde{h}(\theta,\dot{\theta})$$

　　根据轨迹生成器输出的期望位置$\theta_d$、速度$\dot{\theta_d}$、加速度$\ddot{\theta_d}$，前馈力矩为：$$\tau(t)=\widetilde{M}(\theta_d(t))\ddot{\theta_d}(t)+\widetilde{h}(\theta_d(t),\dot{\theta_d}(t))$$

　　前馈控制伪代码如下：

time = 0                                           // dt = servo cycle time
loop[qd,qdotd,qdotdotd] = trajectory(time)         // trajectory generatortau = Mtilde(qd)*qdotdotd + htilde(qd,qdotd)   // calculate dynamics
    commandTorque(tau)time = time + dt
end loop

　　如果动力学模型完全准确，那么用前馈控制即可直接计算力矩。但实际上模型总是存在各种误差，因此前馈控制一般总是与反馈控制结合起来使用。比如下面这个例子，如果$\widetilde{r}=0.08m$，即动力学公式中转轴到质心距离这个参数为0.08m（实际上这个值为0.1m）。因为存在测量和制造误差，准确的动力学模型很难得到。考虑2个任务：任务1连杆运动轨迹为$\theta_d(t)=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\cos(t)$，运动时间为$0\leqslant t \leqslant \pi$；任务2连杆运动轨迹为$\theta_d(t)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\cos(t)$，运动时间为$0\leqslant t \leqslant \pi$

　　可以看出模型存在误差的情况下，根据动力学方程计算力矩而得到的结果与期望值之间存在偏差。对于任务2重力会阻碍期望的运动，导致产生较大的跟踪误差。

　　对任务2，在MATLAB/Simulink中进行仿真也可以得到同样的结果：

　　其中arm dynamics子模块根据输入的力矩计算并输出角度或角速度：

　　期望角度轨迹（蓝线）与根据不准确的动力学模型计算的实际轨迹（橙线）如下图所示：

• 前馈-反馈控制（feedforward and feedback control）

　　结合前馈与反馈，实际角加速度$\ddot{\theta}$可写为：$$\ddot{\theta}=\ddot{\theta_d}+K_p\theta_e+K_d\dot{\theta_e}+K_i\int\theta_e(t)dt$$

　　将其带入动力学预测方程中可得到前馈-反馈控制器：$$\boxed{\tau=\widetilde{M}(\theta)(\ddot{\theta_d}+K_p\theta_e+K_i\int\theta_e(t)dt+K_d\dot{\theta_e}) +\widetilde{h}(\theta,\dot{\theta})}$$

　　前馈-反馈控制器的结构如下图所示，通常$K_i$设为零，即使用PD+前馈控制：

　　前馈-反馈控制的伪代码如下：

time = 0                                   // dt = cycle time
eint = 0                                   // error integral
qprev = senseAngle                         // initial joint angle q
loop[qd,qdotd,qdotdotd] = trajectory(time) // from trajectory generator
    q = senseAngle                         // sense actual joint angleqdot = (q - qprev)/dt                  // simple velocity calculationqprev = qe = qd - qedot = qdotd - qdoteint = eint + e*dttau = Mtilde(q)*(qdotdotd+Kp*e+Kd*edot+Ki*eint) + htilde(q,qdot)commandTorque(tau)time = time + dt
end loop

　　单独使用PID控制的Simulink模型如下图所示(参数与任务2中一样)：

　　前馈-反馈控制的模型如下图所示（PID参数与任务2一样）：

　　子模块$\widetilde{h}(\theta,\dot{\theta})$如下图所示：

　　各控制方法输出的曲线与期望轨迹的对比如下图所示（固定步长0.01s，仿真时间t=pi）：

　　可以看出单独使用前馈控制存在很大跟踪误差，单独使用PID反馈控制对轨迹的跟踪效果也不理想。前馈+反馈控制方案结合了二者的优点，动态跟踪误差最小。

参考：

《机械控制工程基础》

《机器人动力学与控制》 霍伟

V-rep学习笔记：转动关节2

V-rep学习笔记：关节力矩控制

前馈控制、反馈控制及前馈-反馈控制的对比

基于Mathematica的机器人仿真环境（机械臂篇）

浅显直观地解释机器人控制为什么需要动力学建模

Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control Code Library

Modern Robotics Mechanics, Planning, and Control Chapter 11.4 Motion Control with Torque or Force Inputs