电机模型

一般来说，电机电枢电流与输出转矩的关系可表示为：
τm=kmia\tau_{m}=k_{m} i_{a}τm=kmia
当电机转动时，则成为一个发电机，在电枢上产生一个电压。反电势常数，即给定转速是产生的电压为：
v=keθ˙mv=k_{e} \dot{\theta}_{m}v=keθ˙m
换向器实际上是一个开关，使电流通过变化的线圈绕组产生转矩，并产生一定的转矩波动。但这种影响可忽略不计（模型建立困难，误差补偿也很困难）

图1 直流力矩电机的电枢电路

图1为电枢电路。主要构成部分为电源电压vav_{a}va,电枢绕组感抗lal_{a}la，电枢绕组电阻rar_{a}ra及产生的反电势vvv。电路可用如下一阶微分方程描述：
lai˙a+raia=va−keθ˙ml_{a} \dot i_{a}+r_{a} i_{a}=v_{a}-k_{e} \dot{\theta}_{m}lai˙a+raia=va−keθ˙m
一般用电机驱动器控制电机的转矩（而不是速度）。驱动电路通过检测电枢电流不断调节电源电压以使通过电枢的电流为期望电流iai_{a}ia。在电流驱动系统中，由电机感抗lal_{a}la和电源电压的上限vav_{a}va控制电枢电流变化的速率。实际上相当于在工作电流和输出转矩之间存在一个低通滤波器。
为简化起见，假设电机的感抗可以忽略。这个假设合理的前提是闭环控制系统的固有频率远低于由于感抗引起的电流驱动器中隐含的低通滤波器的截止频率。这表明电机转矩可以直接控制。

传动比与有效惯量

图2 通过齿轮减速器与惯性负载相连的直流力矩电机的力学模型

图2所示为通过齿轮减速器与惯性负载相连的直流力矩电机转子的力学模型。传动比(η)可提高驱动负载的力矩，降低负载的转速，由下式表示：
τ=ητm\tau=\eta \tau_{m}τ=ητm
θ˙=(1/η)θ˙m\dot{\theta}=(1 / \eta) \dot{\theta}_{m}θ˙=(1/η)θ˙m
按照转子力矩写出系统的力矩平衡方程如下：
τm=Imθ¨m+bmθ˙m+(1/η)(Iθ¨+bθ˙)\tau_{m}=I_{m} \ddot{\theta}_{m}+b_{m} \dot{\theta}_{m}+(1 / \eta)(I \ddot{\theta}+b \dot{\theta})τm=Imθ¨m+bmθ˙m+(1/η)(Iθ¨+bθ˙)
ImI_{m}Im和III分别为电机转子惯量和负载惯量。bmb_{m}bm和bbb分别为电机转子轴承和负载轴承的粘滞摩擦系数。
将其根据负载变量写为：
τ=(I+η2Im)θ¨+(b+η2bm)θ˙\tau=\left(I+\eta^{2} I_{m}\right) \ddot{\theta}+\left(b+\eta^{2} b_{m}\right) \dot{\theta}τ=(I+η2Im)θ¨+(b+η2bm)θ˙
I+η2ImI+\eta^{2} I_{m}I+η2Im被称为减速器输出端（连杆侧）的有效惯量。b+η2bb+\eta^{2} bb+η2b称为有效阻尼。
可见，在大传动比(η远大于1)情况下，电机转子惯量是有效组合惯量中的主要部分。此时可设有效惯量为一个常数。实际上，机构关节的惯量III是随着机构位形和负载变化的。然而在大传动比机器人中，这种变化的比例小于直接驱动操作臂。为确保机器人连杆的运动永远不为欠阻尼，有效惯量应为取值范围内的最大值，即ImaxI_{max}Imax。

结构柔性

建模过程中的另一个主要假设是减速器、轴、轴承以及被驱动连杆是绝对刚体。实际上这些元件刚度都是有限的，其柔性将增加系统的阶次。忽略柔性影响的理由是这些系统刚度极度，未建模共振的固有频率非常高，与已建模的二阶主极点的影响相比可忽略不计。
在建模时未考虑系统的结构柔性，必须注意不能激发起这些共振模态。方法为如果最低结构共振频率为ωres \omega_{\text { res }}ω res ，则限定闭环固有频率为：
ωn<12ωres\omega_{n}<\frac{1}{2} \omega_{\mathrm{res}}ωn<21ωres
典型工业机器人的结构共振频率为5Hz到25Hz。

估计共振频率

在结构柔性能够识别的情况下，如果能够给出柔性结构件有效质量或有效惯量的描述，就可以进行振动的近似分析。简单质量—弹簧系统近似得出系统的固有频率为：
ωn=k/m\omega_{n}=\sqrt{k / m}ωn=k/m
k为柔性结构件的刚度，m为振动系统的等效质量。
为粗略估计梁和轴的最低共振频率，可采用集中质量模型。梁和轴的末端刚度公式是已知的。集中质量模型提供了估算共振频率所需的有效质量或有效惯量。

图3 用于估算横向共振和扭转共振的梁的集中质量模型

如图3所示，这个分析建议用一个位于梁末端的质量为0.23m0.23m0.23m的质点代替质量为m的梁，由轴末端的集中惯量0.33I0.33I0.33I代替分布惯量III。

单关节控制

概括来说，对于单关节建模与控制做了一下三个主要假设：

电机的感抗lal_{a}la可以忽略。
大传动比情况下，有效惯量视为一个常数，即Imax+η2ImI_{\mathrm{max}}+\eta^{2} I_{m}Imax+η2Im。
结构柔性可以忽略。最低结构共振频率ωres\omega_{res}ωres用于设定伺服增益的情况除外。

应用这些假设，可用下面方法给出的分解运动对一个单关节操作臂进行控制。

图4 采用控制律分解方法的闭环轨迹跟踪控制系统

图4 为采用控制律分解方法的闭环轨迹跟踪控制系统。把控制器分为基于模型的控制部分和伺服控制部分。系统的参数仅出现在基于模型的控制部分，而与伺服控制部分完全独立。通过基于模型的控制部分将系统简化为一个单位质量(即没有摩擦和刚度)。控制律的第二部分利用反馈来改变系统的特性。
基于模型的控制部分表达式为：
f=αf′+βf=\alpha f^{\prime}+\betaf=αf′+β
式中α和β是函数或常数。将f′f^{\prime}f′作为新的系统输入，通过选择α和β将系统简化为单位质量。根据上述直流力矩电机转子的力学模型τ=(I+η2Im)θ¨+(b+η2bm)θ˙\tau=\left(I+\eta^{2} I_{m}\right) \ddot{\theta}+\left(b+\eta^{2} b_{m}\right) \dot{\theta}τ=(I+η2Im)θ¨+(b+η2bm)θ˙，可选定：
α=Imax⁡+η2Im\alpha=I_{\max }+\eta^{2} I_{m}α=Imax+η2Im
β=(b+η2bm)θ˙\beta=\left(b+\eta^{2} b_{m}\right) \dot{\theta}β=(b+η2bm)θ˙
此时τ′=f′=θ¨d+kve˙+kpe\tau^{\prime}=f^{\prime}=\ddot{\theta}_{d}+k_{v} \dot{e}+k_{p} eτ′=f′=θ¨d+kve˙+kpe。系统的闭环动力学方程为：
e¨+kve˙+kpe=τdist\ddot{e}+k_{v} \dot{e}+k_{p} e=\tau_{\mathrm{dist}}e¨+kve˙+kpe=τdist
τdist\tau_{\mathrm{dist}}τdist为连杆有效惯量对关节电机施加的恒定干扰。
在这种方法中，控制增益的设定非常简单，而且与系统参数独立。设定系统处于临界阻尼状态的增益为：
kp=ωn2=14ωres2k_{p}=\omega_{n}^{2}=\frac{1}{4} \omega_{\mathrm{res}}^{2}kp=ωn2=41ωres2
kv=2kp=ωresk_{v}=2 \sqrt{k_{p}}=\omega_{\mathrm{res}}kv=2kp=ωres
为消除稳态误差，有时可附加一个积分项。对于这种控制律，系统变成了一个三阶系统。通常kik_{i}ki非常小，使得这个三阶系统没有积分项而“近似于”一个二阶系统。

John J. Craig. Introduction to Robotics: Mechanics and Control[M]// Introduction to robotics :: Mechanics and control. 1955. ↩︎

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