一、数据插值：

插值是在一组已知数据点的范围内添加新数据点的技术。可以使用插值来填充缺失的数据、对现有数据进行平滑处理以及进行预测等。MATLAB 中的插值技术可分为适用于网格上的数据点和散点数据点。从数学上来说，数据插值是一种函数逼近的方法。

数据插值的实现方法：

1、一维插值函数为interp1(),

调用格式：

y = interp1(X,Y,X1,method)

该式可以根据X，Y的值来计算函数在X1处的值。其中X，Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要插值的点。

method参数表示用于插值的方法，常用的取值由一下几种方法：

(1) linear: 线形插值，默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。

(2) nearest: 最近点插值。 选择最近样本点的值作为插值数据。

(3) pchip: 分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式，除满足插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性。

(4) spline: 3次样条插值。每一个分段你内构造一个三次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。

>> x = [0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];

>> y = [0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];

>> x1 = 0:0.1:15;

>> y1 = interp1(x,y,x1,'spline');

>> plot(x1,y1)

以上四种方法的区别：

线形插值和最近点插值方法比较简单。其中线形插值方法的计算量与样本点n 无关。n越大，误差越小。

3次埃尔米特插值和3次样条插值都能保证曲线的光滑性。相比较而言，3次埃尔米特插值具有保形性，而3次样条插值要求其二阶导数也连续，所以插值函数的性态更好。pchip和spline方法插值的区别​blog.csdn.net

MATLAB的二维插值函数为interp2(),

调用格式：y1 = interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)

其中X，Y两个向量，表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。X1，Y1是连个标量或向量，表示要插值的点。指定的算法method计算二维插值。linear为双线性插值算法(默认算法)，nearest为最临近插值，spline为三次样条插值，cubic为双三次插值。

关于数据插值下面有个优秀的总结：插值与拟合​blog.csdn.net

MATLAB中拉格朗日插值的实现：https://blog.csdn.net/m0_37395228/article/details/80874393​blog.csdn.net

MATLAB中牛顿插值的实现：https://blog.csdn.net/wenyusuran/article/details/41725983​blog.csdn.nethttps://blog.csdn.net/m0_37395228/article/details/80875351​blog.csdn.net

二、曲线拟合：

曲线拟合是一种函数逼近的方法。可以分为线形拟合和非线性拟合。

曲线拟合的原理：对于y = f(x),通过构造一个函数g(x)取逼近未知函数f(x)，使得误差在某种意义下达到最小。

一般使用多项式函数作为逼近函数，使用最小二乘法计算误差最小。

曲线拟合的实现方法：

使用polyfit()函数，其功能为求得最小二乘拟合多项式系数。

(1)线形曲线拟合:

调用格式：

(1) P= polyfit(X,Y,m)

(2) [P,S] = polyfit(X,Y,m)

(3) [P,S,mu] = polyfit(X,Y,m)

上述式子中的X，Y样本数据，m为拟合多项式的次数，一般为3次以内。

P为多项式的系数降幂向量，S为误差数据，mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X), mu(2) 是std(X).

>> x = [1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]';

>> y = [0.9 1.7 2.2 2.6 3.0]';

>> a = polyfit(x,y,1) %次数1为一次线形拟合，相当于设定拟合函数为g(x) = a*x+b,求a和b

a =

1.0200 0.0400 %此处两个值为上述g(x)的a和b值

>> xi = 1:0.1:3;

>> yi = polyval(a,xi); %polyval()函数相当于已知自变量xi和函数a求函数值

>> plot(x,y,'o',xi,yi);上述拟合之后的曲线和原数据点的分布关系如图

>> x = [1.2 3.3 4.5 7.8 9.9 6.7 10.3 13.2 ];

>> y = [2.3 4.5 6.7 7.3 7.6 8.6 9.8 11.2 ];

>> [p,s,mu] = polyfit(x,y,1)

p =

2.6369 7.2500 %该处显示拟合函数为g(x) = 2.6369*x+7.2500

s =

包含以下字段的 struct:

R: [2×2 double]

df: 6

normr: 2.7837

mu =

7.1125

3.9991

(2) 非线性曲线拟合：

1、fit():

对于非线性拟合时需要使用fittype()函数，该函数可以指定所要构造的拟合函数

如下面的例子中 ，我们想使用g(x)来拟合曲线，先使用fittype()函数将其指定该p，然后调用fit()函数来拟合

>> x = [1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]';

>> y = [0.9 1.7 2.2 2.6 3.0]';

>> p = fittype('a*x+b*sin(x)+c');

>> f = fit(x,y,p)

f =

General model:

f(x) = a*x+b*sin(x)+c

Coefficients (with 95% confidence bounds):

a = 1.249 (0.9856, 1.512) %此处a,b,c为上述拟合函数的系数最优值

b = 0.6357 (0.03185, 1.24) %此处括号里显示的为置信区间。详见下文链接。

c = -0.8611 (-1.773, 0.05094)

>>plot(f,x,y);

由于曲线拟合只是对于曲线的逼近，其值并不一定确定，在逼近的时候会有误差，置信区间实质上反应了值摆动的一个可能的范围。置信区间_百度百科​baike.baidu.com

2、nlinfit():

调用格式：

f = nlinfit(x,y,fun,f0):

上式中，x和y为观察数据的自变量和因变量，fun为待拟合的模型表达式，可以为y = f(x)的M文件的函数名，或者由inline()函数表示，y0是模型初始参数的估计值，计算后获得的返回值y为最小二乘法估计得出的模型最佳系数。

[y,r,J] = nlinfit(x,y,fun,y0):

曲线拟合后的返回参数r为拟合的残差，而J为残差r对a的Jacobi向量构成的矩阵。

[……] = nlinfit(x,y,fun,y0,options):

参数options对拟合过程进行设置，其中包括Maxlter(最大迭代次数)、TolFun(函数参数平方和允许值)、TolX(拟合系数允许的误差值)和Display(控制拟合过程的显示，其中off表示不现实输出、iter显示每次迭代的结果、final只显示最终结果、notify只在函数不收敛的时候显示结果)

3、lsqcurvefit():

调用格式：

[a,rnorm,r,exitflag] = lfqcurvefit(fun,a0,X,Y,lb,ub,options):

其中fun为待拟合的模型表达式，可以为y = f(x)的M文件函数名，或者由inline()函数表示，a0为模型系数的初始估计值，lb和ub分别为拟合系数的预估下界和上界，参数options用于拟合过程设置，同函数nlinfit()，函数返回的参数中a为拟合估计系数，rnorm为误差平方和，r为拟合模型的残差，exitflag为运行情况。

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