ECDSA 和 ECDH

ECDH:

ECC算法用途比RSA还猛，不仅可以加解密、签名验证。还可以与DH结合使用，用于密钥磋商，这个密钥交换算法称为ECDH。交换双方可以在不共享任何秘密的情况下协商出一个密钥。ECC是建立在基于椭圆曲线的离散对数问题上的密码体制，给定椭圆曲线上的一个点P，一个整数k，求解点Q=kP很容易；给定两个点P、Q，知道Q=kP，求整数k确是一个难题。ECDH即建立在此数学难题之上。密钥磋商过程：

假设密钥交换双方为Alice、Bob，其有共享曲线参数（椭圆曲线E、阶N、基点G）。

1)Alice生成随机整数a，计算A=a*G。Bob生成随机整数b，计算B=b*G。

2)Alice将A传递给Bob。A的传递可以公开，即攻击者可以获取A。由于椭圆曲线的离散对数问题是难题，所以攻击者不可以通过A、G计算出a。Bob将B传递给Alice。同理，B的传递可以公开。

3 )Bob收到Alice传递的A，计算Q=b*A

4)Alice收到Bob传递的B，计算Q‘=a*B

Alice、Bob双方即得Q=b*A=b*(a*G)=(b*a)*G=(a*b)*G=a*(b*G)=a*B=Q'(交换律和结合律)，即双方得到一致的密钥Q。

ECDSA：

ECDSA算法用于数字签名，是ECC与DSA的结合，整个签名过程与DSA类似，所不一样的是签名中采取的算法为ECC，最后签名出来的值也是分为r,s。

签名过程如下：

1、选择一条椭圆曲线Ep(a,b)，和基点G；

2、选择私有密钥k（k<n，n为G的阶），利用基点G计算公开密钥K=kG；

3、产生一个随机整数r（r<n），计算点R=rG；

4、将原数据和点R的坐标值x,y作为参数，计算SHA1做为hash，即Hash=SHA1(原数据,x,y)；

5、计算s≡r - Hash * k (mod n)

6、r和s做为签名值，如果r和s其中一个为0，重新从第3步开始执行

验证过程如下：

1、接受方在收到消息(m)和签名值(r,s)后，进行以下运算

2、计算：sG+H(m)P=(x1,y1),r1≡x1 modp。

3、验证等式：r1 ≡ r mod p。

4、如果等式成立，接受签名，否则签名无效。

证明公式：

签名体制的正确性证明：签名体制的正确性证明：

sG+H(m)P

=(k-H(m)n_A)G+H(m)P

=kG-H(m)n_AG+H(m)P

=kG-H(m)P+H(m)P

=kG

所以，r1≡r mod p。

R=kG；P=n_AG;s=k-H(m)*n_A mod p

简单的例子：

签名过程：

选取随机数k = 3，假设h(m) = 4 ，则计算(x,y) = kG = 3 (x,y) = kG =3(0,2)=(11,9)，r = x mod n = 11 mod 23 =11，s=k-H(m)×n_A mod p = 3–4×9 mod 23 = 13。因此对m的签名为(11 13)。

验证过程：

签名接收者B得到签名后计算：sG+H(m)P= 13G + 4P =(11,9)，r1 = x1

mod n = 11 mod 29 = 11 =r。因此B接受签名。

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