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创新计算机体系结构设计的FMM 算法分析

创新计算机体系结构设计的FMM 算法分析

摘要

为了设计专注于高性能计算的新型计算机体系结构，需要研究典型应用，藉此了解系

统结构应具备的主要特性。本文作为设计创新高性能计算机体系结构的准备工作的一部分，

针对应用程序在计算和访存等方面的特性，给出了专为N-body 问题中的FMM 算法而优化

的体系结构设计策略。

近年来出现的一些新型计算机体系结构都不约而同的把注意力放在了提高硬件执行效

能之上，为此这些新型计算机体系往往针对某些特定范围的应用做了优化。类似于GPGPU

(General-Purpose Computing on Graphics Processing Units )的体系结构中，由于存在针对图

形处理优化的体系设计和特殊硬件，其在图形相关的领域有着非常好的应用。而诸如

MorphoSys 之类的可重构体系结构，往往具有粗颗粒度的动态可重构的硬件设计，从而能够

针对不同应用的特点，动态的给予硬件相应的优化配置，保证硬件总能最大程度的发挥自

身的性能。

依照以上所述的基于应用分析的研究方法，本文选取了N-body 问题这样一个应用范畴

作为分析对象。N -body 问题又称多体问题，是天体物理学、流体力学以及分子动力学的基

本问题之一，用来模拟一个系统中相互作用的粒子的运动规律。一般可以被描述为：在一

定的空间中，分布着多个粒子，每对粒子之间都存在着相互作用力(如万有引力、库仑力

等)，使这些粒子发生运动。它们的初始位置和速度是已知的，每隔一定的时间，通过计算

粒子之间的作用力，来更新它们的位置和速度。N -body 问题早在三百多年前已被提出，几

百年来人们经过对它的不断研究和实验，已经总结出相当成熟和可靠的算法。随着科技的

不断发展，N -body 问题的规模也随之不停地扩大，现今已达到了上亿、甚至上百亿的规模。

这样大规模的运算对计算机的运算速度提出了非常大的挑战，因此，N -body 问题是高性能

计算领域最具代表性、影响力和挑战性的问题之一。

N-body 的问题的常见算法有如下几种：直接套用公式计算的PP (Particle to Particle )

算法；使用密度网格计算势能的PM (Particle Mesh Method )算法；把计算划分为远程区域

与近程区域的TM (Tree Method )算法。其中TM 算法又包括BH (Barnes-Hut )算法以及

改进型的FMM(Fast Multipole Method )算法。为了从这些算法中挑选出具有代表性的N-body

算法，本文从时间复杂度和计算精度等几个方面对它们进行了分析。

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PP 算法是最直接最简单的算法，时间复杂度为O(N ) 。PM 算法是一种在粒子系统里计

算引力的方法，它的基本原理是把一个由粒子组成的系统转换成一个密度的网格(或“筛”)，

通过该密度网格求解得到势能，然后，根据粒子在网格中所处的单元以及在单元中的位置，

将力应用到每个粒子上去。它的时间复杂度是O(N logN ) ，其中N 为离散网格大小。但PM

g g g

算法对于距离较近的粒子精度很低，因此只适用于粒子彼此之间距离较远的系统。BH 算法

应用树形结构对空间进行划分，并以此将N -body 问题的计算划分为近程与远程。它被广泛

地应用于天体力学。可快速计算各点受到的力，计算复杂度为 O(NlogN) 。虽然该算法的误

差范围小于1%，但也只能够处理天体力学范畴的问题。FMM 算法则是对BH 算法的改进，

创新计算机体系结构设计的FMM 算法分析

区别于BH 算法在每个结点处直接计算作用力，FMM 算法通过计算多项展开式的方法来实

现不同区域之间势能的转换，即ME (Multipole Expansion )和LE (Local Expansion )。通