刚体的相对运动与机器人连杆的运动

在机器人学中，我们使用以下公式来对如图所示进行不同参考系中运动描述的变换： A V Q = A V B O R G + B A R B V Q + A Ω B × B A R B P Q { }^{A} V_{Q}={ }^{A} V_{B O R G}+{ }_{B}^{A} R{ }^{B} V_{Q}+{ }^{A} \Omega_{B} \times{ }_{B}^{A} R^{B} P_{Q} AVQ=AVBORG+BARBVQ+AΩB×BARBPQ

其中 A V Q ^{A} V_Q AVQ表示运动物体 Q Q Q相对于参考物体 A A A的运动在参考系 { A } \{A\} {A}中的表达， A V B O R G ^{A} V_{B O R G} AVBORG表示参考系 B {B} B的原点（origin）相对于参考系 { A } \{A\} {A}的速度，在理论力学中，这个速度被称为牵连速度。 B A R _{B}^{A} R BAR表示参考系 B {B} B相对于参考系 { A } \{A\} {A}的位姿旋转矩阵， B V Q ^{B} V_{Q} BVQ为运动物体 Q Q Q相对于参考物体 B B B的速度，在理论力学中我们称为相对速度。 A Ω B ^{A} \Omega_{B} AΩB表示参考系 B {B} B相对于参考系 { A } \{A\} {A}旋转的角速度， B P Q ^{B} P_{Q} BPQ为 P P P点在参考系 { Q } \{Q\} {Q}中的坐标。
我们发现，和质点的运动稍有不同，考虑旋转之后，相对速度需要乘以一个旋转矩阵，并且我们还会因为旋转额外引入一个伴随速度。所以上式我们用文字可以总结为：绝对速度 = 牵连速度 + 旋转矩阵 ∗ 相对速度 + 伴随速度绝对速度=牵连速度+旋转矩阵*相对速度+伴随速度绝对速度=牵连速度+旋转矩阵∗相对速度+伴随速度其中，伴随速度 = 牵连角速度 × 旋转矩阵 ∗ 相对位移伴随速度=牵连角速度×旋转矩阵*相对位移伴随速度=牵连角速度×旋转矩阵∗相对位移

我们可以把这个结论用到机器人连杆的运动分析，也就是连杆之间的速度“传递”（propagation）上，如下图所示：

因为瞬时角速度是矢量（参考文献[1]屈军. 角速度是矢量的一种简易证法[J]. 安庆师范学院学报:自然科学版, 2000, 006(001):60-61.），所以我们可以使用直接叠加的方法来计算相邻两个轴之间的角速度关系如下： i + 1 ω i + 1 = i i + 1 R i ω i + θ ˙ i + 1 i + 1 Z ^ i + 1 ^{i+1}{\omega_{i+1}}={ }^{i+1}_{\quad i} R^{}{ }^{i} \omega_{i}+\dot{\theta}_{i+1}{ }^{i+1} \hat{Z}_{i+1} i+1ωi+1=ii+1Riωi+θ˙i+1i+1Z^i+1
其中， i ω i ^{i} \omega_{i} iωi表示在坐标系 { i } \{i\} {i}中表示的 { i } \{i\} {i}相对于地面坐标系 { 0 } \{0\} {0}的运动，即 i ( 0 ω i ) = i ω i ^{i}(^{0}\omega_i)=^i\omega_{i} i(0ωi)=iωi
注意，只有在同一个坐标系的表示中，两个向量才能相加。
而因为向量 i P i + 1 ^iP_{i+1} iPi+1在坐标系 { i } \{i\} {i}中是不变的（因为这个连杆是一个刚体），所以 { i + 1 } \{i+1\} {i+1}系和 { i } \{i\} {i}系的相对速度为0，两轴原点之间的速度关系可以可以表达为： i + 1 v i + 1 = i i + 1 R ( i v i + i ω i × i P i + 1 ) ^{i+1}v_{i+1}={ }^{i+1}_{\quad i}R\left({ }^{i} v_{i}+{ }^{i} \omega_{i} \times{ }^{i} P_{i+1}\right) i+1vi+1=ii+1R(ivi+iωi×iPi+1)

具体的推导过程可以参考[1]John J. Craig, 贠超. 机器人学导论[M]. 机械工业出版社, 2006.

进而我们对相对运动方程两边对时间求导，可以得到以下的结论：

我们可以使用以下文字公式进行总结：绝对加速度 = 牵连加速度 + 切向加速度 + 法向加速度 + 科氏加速度 + 相对加速度绝对加速度=牵连加速度+切向加速度+法向加速度+科氏加速度+相对加速度绝对加速度=牵连加速度+切向加速度+法向加速度+科氏加速度+相对加速度

我们看到科里奥利力一项，它的意义是如果点Q在非惯性系{B}中如果有相对速度 B V Q ^BV_Q BVQ，那么在惯性系{A}看来，这个点Q额外受到一个 2 A Ω B × A V Q 2^A\Omega_B×^AV_Q 2AΩB×AVQ大小的惯性力，其中 A V Q = B A R B V Q ^AV_Q=^A_BR^BV_Q AVQ=BARBVQ， A Ω B ^A\Omega_B AΩB为非惯性系{B}相对于{A}的角速度，Q的速度在{A}中的表达。

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