[足式机器人]Part3机构运动微分几何学分析与综合Ch01-2 平面运动微分几何学—

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本文参考：
《机构运动微分几何学分析与综合》-王德伦、汪伟
《微分几何》吴大任

Ch01-2 平面运动微分几何学

1.2 平面运动微分几何学
- 1.2.1 相伴运动
- 1.2.2 瞬心线-1

1.2 平面运动微分几何学

1.2.1 相伴运动

平面运动的一般表述形式：（运动）刚体Σ∗\Sigma *Σ∗相对固定刚体Σ\SigmaΣ的平面运动

在固定刚体Σ\SigmaΣ上建立固定坐标系{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}，运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗上建立运动坐标系{Om:i⃗m,j⃗m}\{{{O}_{m}}:{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\}{Om:im,jm}：

运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗在固定刚体Σ\SigmaΣ的固定坐标系{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}下，需要两个线位移参数（运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗上的点在固定固定坐标系{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}下的坐标参数Om(xOm,yOm){{O}_{m}}({{x}_{Om}},{{y}_{Om}})Om(xOm,yOm)）与角位移参数γ\gammaγ
则运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗上的任意点P(xPm,yPm)P({{x}_{Pm}},{{y}_{Pm}})P(xPm,yPm)在固定固定坐标系{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}下的坐标参数P(xPf,yPf)P({{x}_{Pf}},{{y}_{Pf}})P(xPf,yPf)，矩阵转换关系为：
[xPfyPf1]=[cos⁡γ−sin⁡γxOmfsin⁡γcos⁡γyOmf001][xPmyPm1]\left[ \begin{matrix} {{x}_{Pf}} \\ {{y}_{Pf}} \\ 1 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & {{x}_{Omf}} \\ \sin \gamma & \cos \gamma & {{y}_{Omf}} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{x}_{Pm}} \\ {{y}_{Pm}} \\ 1 \\ \end{matrix} \right]⎣⎡xPfyPf1⎦⎤=⎣⎡cosγsinγ0−sinγcosγ0xOmfyOmf1⎦⎤⎣⎡xPmyPm1⎦⎤
对于给定刚体连续运动，属于无限接近位置运动几何学；而给定刚体运动离散数据，则属于有限分离位置运动几何学；分别对应于经典的曲率理论和经典的Burmester理论，这些都是机构运动综合的理论基础。然而，有限分离位置和无限接近位置运动几何学有着类似的性质，无论是分析还是综合，应有统一的解析方法描述其几何性质与运动性质的内在联系。

平面运动的相伴方法表述： 对于已知刚体的连续运动，即已知刚体上某一点的连续位移和刚体相对该点的连续转动，把运动坐标系建立在运动刚体已知点的轨迹曲线上，形成活动标架，利用相伴曲线方法表述刚体运动。

运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗上一点P在运动坐标系{Om:i⃗m,j⃗m}\{{{O}_{m}}:{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\}{Om:im,jm}的坐标参数为：(xPm,yPm)({{x}_{Pm}},{{y}_{Pm}})(xPm,yPm)，或极坐标参数为：(rpm,θpm)({{r}_{pm}},{{\theta }_{pm}})(rpm,θpm)，其矢量方程为：
R⃗pm=xpmi⃗+ypmj⃗=rpme⃗I(θpm){{{\vec{R}}}_{pm}}={{x}_{pm}}\vec{i}+{{y}_{pm}}\vec{j}={{r}_{pm}}{{{\vec{e}}}_{I({{\theta }_{pm}})}}Rpm=xpmi+ypmj=rpmeI(θpm)

运动坐标系{Om:i⃗m,j⃗m}\{{{O}_{m}}:{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\}{Om:im,jm}与固定坐标系{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}的基矢量关系为（γ\gammaγ为i⃗m{{{\vec{i}}}_{m}}im在{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}中的方向角）：
{i⃗m=cos⁡γi⃗f+−sin⁡γj⃗fj⃗m=sin⁡γi⃗f+cos⁡γj⃗f\left\{ \begin{matrix} {{{\vec{i}}}_{m}}=\cos \gamma {{{\vec{i}}}_{f}}+-\sin \gamma {{{\vec{j}}}_{f}} \\ {{{\vec{j}}}_{m}}=\sin \gamma {{{\vec{i}}}_{f}}+\cos \gamma {{{\vec{j}}}_{f}} \\ \end{matrix} \right.{im=cosγif+−sinγjfjm=sinγif+cosγjf
则固定坐标系{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}下运动坐标系原点的轨迹曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的矢量方程为：ΓOm:R⃗Om=xOmfi⃗f+yOmfj⃗f{{\Gamma }_{Om}}:{{{\vec{R}}}_{Om}}={{x}_{Omf}}{{{\vec{i}}}_{f}}+{{y}_{Omf}}{{{\vec{j}}}_{f}}ΓOm:ROm=xOmfif+yOmfjf
对于运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗上一点P(xPm,yPm)({{x}_{Pm}},{{y}_{Pm}})(xPm,yPm)，在固定坐标系的矢量为：
ΓP:R⃗P=R⃗Om+R⃗pm=R⃗Om+xPmi⃗m+yPmj⃗m{{\Gamma }_{P}}:{{{\vec{R}}}_{P}}={{{\vec{R}}}_{Om}}+{{{\vec{R}}}_{pm}}={{{\vec{R}}}_{Om}}+{{x}_{Pm}}{{{\vec{i}}}_{m}}+{{y}_{Pm}}{{{\vec{j}}}_{m}}ΓP:RP=ROm+Rpm=ROm+xPmim+yPmjm
将上式对时间t求导，可得其绝对速度为：
V⃗P=dR⃗Pdt=dR⃗Omdt+xPmdi⃗mdt+dxPmdti⃗m+yPmdj⃗mdt+dyPmdtj⃗m{{{\vec{V}}}_{P}}=\frac{d{{{\vec{R}}}_{P}}}{dt}=\frac{d{{{\vec{R}}}_{Om}}}{dt}+{{x}_{Pm}}\frac{d{{{\vec{i}}}_{m}}}{dt}+\frac{d{{x}_{Pm}}}{dt}{{{\vec{i}}}_{m}}+{{y}_{Pm}}\frac{d{{{\vec{j}}}_{m}}}{dt}+\frac{d{{y}_{Pm}}}{dt}{{{\vec{j}}}_{m}}VP=dtdRP=dtdROm+xPmdtdim+dtdxPmim+yPmdtdjm+dtdyPmjm
显然：运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗的绝对运动可以视为运动坐标系{Om:i⃗m,j⃗m}\{{{O}_{m}}:{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\}{Om:im,jm}的牵连运动（dR⃗Omdt+xPmdi⃗mdt+yPmdj⃗mdt\frac{d{{{\vec{R}}}_{Om}}}{dt}+{{x}_{Pm}}\frac{d{{{\vec{i}}}_{m}}}{dt}+{{y}_{Pm}}\frac{d{{{\vec{j}}}_{m}}}{dt}dtdROm+xPmdtdim+yPmdtdjm）和相对运动的复合——牵连运动的性质与复杂程度与运动坐标系的选择有关
若点P固结在运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗上（即没有相对运动），其轨迹ΓP{{\Gamma }_{P}}ΓP与运动坐标系原点轨迹ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm是相伴关系，可以借助于相伴曲线方法来表述平面运动：
令曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的弧长参数为sss，则 ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm上的Frenet标架为：α⃗=dR⃗Omds,β⃗=k⃗×α⃗\vec{\alpha }=\frac{d{{{\vec{R}}}_{Om}}}{ds},\vec{\beta }=\vec{k}\times \vec{\alpha }α=dsdROm,β=k×α，或：
{α⃗=dxOmfdsi⃗f+dyOmfdsj⃗f[(dxOmfds)2+(dyOmfds)2]12β⃗=−dyOmfdsi⃗f+dxOmfdsj⃗f[(dxOmfds)2+(dyOmfds)2]12\left\{ \begin{matrix} \vec{\alpha }=\frac{\frac{d{{x}_{Omf}}}{ds}{{{\vec{i}}}_{f}}+\frac{d{{y}_{Omf}}}{ds}{{{\vec{j}}}_{f}}}{{{[{{(\frac{d{{x}_{Omf}}}{ds})}^{2}}+{{(\frac{d{{y}_{Omf}}}{ds})}^{2}}]}^{\frac{1}{2}}}} \\ \vec{\beta }=\frac{-\frac{d{{y}_{Omf}}}{ds}{{{\vec{i}}}_{f}}+\frac{d{{x}_{Omf}}}{ds}{{{\vec{j}}}_{f}}}{{{[{{(\frac{d{{x}_{Omf}}}{ds})}^{2}}+{{(\frac{d{{y}_{Omf}}}{ds})}^{2}}]}^{\frac{1}{2}}}} \\ \end{matrix} \right.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧α=[(dsdxOmf)2+(dsdyOmf)2]21dsdxOmfif+dsdyOmfjfβ=[(dsdxOmf)2+(dsdyOmf)2]21−dsdyOmfif+dsdxOmfjf（单位化）
其微分运算公式为：dα⃗ds=kOmβ⃗,dβ⃗ds=−kOmα⃗\frac{d\vec{\alpha }}{ds}={{k}_{Om}}\vec{\beta },\frac{d\vec{\beta }}{ds}=-{{k}_{Om}}\vec{\alpha }dsdα=kOmβ,dsdβ=−kOmα，其中：kOm{{k}_{Om}}kOm为原曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的曲率并且为弧长sss的函数；以ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm为原曲线，运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗上点P在固定坐标系{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}下的 轨迹曲线ΓP{{\Gamma }_{P}}ΓP 为ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的相伴曲线，表示为：
ΓP:R⃗P=R⃗Om+u1α⃗+u2β⃗{{\Gamma }_{P}}:{{{\vec{R}}}_{P}}={{{\vec{R}}}_{Om}}+{{u}_{1}}\vec{\alpha }+{{u}_{2}}\vec{\beta }ΓP:RP=ROm+u1α+u2β，其中(u1,u2)({{u}_{1}},{{u}_{2}})(u1,u2)为点P在平面曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的Frenent标架⁣ ⁣{⁣ ⁣R⃗Om:α⃗,β⃗⁣ ⁣}⁣ ⁣\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{{\vec{R}}}_{Om}}:\vec{\alpha },\vec{\beta }\text{ }\!\!\}\!\!\text{ } { ROm:α,β } 内的相对坐标，且为原曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm弧长sss的函数。
α⃗{\vec{\alpha }}α在 {Om:i⃗m,j⃗m}\{{{O}_{m}}:{{{\vec{i}}}_{m}}, {{{\vec{j}}}_{m}}\}{Om:im,jm}中的方向角为θ\thetaθ ，同为弧长sss的函数，即θ=θ(s)\theta =\theta (s)θ=θ(s)，则Frenet标架的基向量与运动坐标系的基向量之间的转换关系为：{α⃗=cos⁡θi⃗m+sin⁡θj⃗mβ⃗=−sin⁡θi⃗m+cos⁡θj⃗m\left\{ \begin{matrix} \vec{\alpha }=\cos \theta {{{\vec{i}}}_{m}}+\sin \theta {{{\vec{j}}}_{m}} \\ \vec{\beta }=-\sin \theta {{{\vec{i}}}_{m}}+\cos \theta {{{\vec{j}}}_{m}} \\ \end{matrix} \right.{α=cosθim+sinθjmβ=−sinθim+cosθjm
进一步，可得Frenet标架上的坐标参数为：
{u1=rPmcos⁡(θPm−θ)u2=rPmsin⁡(θPm−θ)\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}={{r}_{Pm}}\cos ({{\theta }_{Pm}}-\theta ) \\ {{u}_{2}}={{r}_{Pm}}\sin ({{\theta }_{Pm}}-\theta ) \\ \end{matrix} \right.{u1=rPmcos(θPm−θ)u2=rPmsin(θPm−θ)
将ΓP:R⃗P=R⃗Om+u1α⃗+u2β⃗{{\Gamma }_{P}}:{{{\vec{R}}}_{P}}={{{\vec{R}}}_{Om}}+{{u}_{1}}\vec{\alpha }+{{u}_{2}}\vec{\beta }ΓP:RP=ROm+u1α+u2β对原曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的弧长sss求导，化简可得：
{dR⃗Pds=A1α⃗+A2β⃗A1=1+du1ds−kOmu2=1−(kOm−θ˙)u2A2=kOmu1+du2ds=(kOm−θ˙)u1\left\{ \begin{matrix} \frac{d{{{\vec{R}}}_{P}}}{ds}={{A}_{1}}\vec{\alpha }+{{A}_{2}}\vec{\beta } \\ {{A}_{1}}=1+\frac{d{{u}_{1}}}{ds}-{{k}_{Om}}{{u}_{2}}=1-({{k}_{Om}}-\dot{\theta }){{u}_{2}} \\ {{A}_{2}}={{k}_{Om}}{{u}_{1}}+\frac{d{{u}_{2}}}{ds}=({{k}_{Om}}-\dot{\theta }){{u}_{1}} \\ \end{matrix} \right.⎩⎪⎨⎪⎧dsdRP=A1α+A2βA1=1+dsdu1−kOmu2=1−(kOm−θ˙)u2A2=kOmu1+dsdu2=(kOm−θ˙)u1

详细推导：
dR⃗Pds=dR⃗Omds+du1dsα⃗+u1dα⃗1ds+du2dsβ⃗+u2dβ⃗ds=α⃗+u˙1α⃗+u1kOmβ⃗+u˙2β⃗−u2kOmα⃗\frac{d{{{\vec{R}}}_{P}}}{ds}=\frac{d{{{\vec{R}}}_{Om}}}{ds}+\frac{d{{u}_{1}}}{ds}\vec{\alpha }+{{u}_{1}}\frac{d{{{\vec{\alpha }}}_{1}}}{ds}+\frac{d{{u}_{2}}}{ds}\vec{\beta }+{{u}_{2}}\frac{d\vec{\beta }}{ds}=\vec{\alpha }+{{{\dot{u}}}_{1}}\vec{\alpha }+{{u}_{1}}{{k}_{Om}}\vec{\beta }+{{{\dot{u}}}_{2}}\vec{\beta }-{{u}_{2}}{{k}_{Om}}\vec{\alpha }dsdRP=dsdROm+dsdu1α+u1dsdα1+dsdu2β+u2dsdβ=α+u˙1α+u1kOmβ+u˙2β−u2kOmα
=(1+u˙1−kOmu2)α⃗+(kOmu1+u˙2)β⃗=(1+{{{\dot{u}}}_{1}}-{{k}_{Om}}{{u}_{2}})\vec{\alpha }+({{k}_{Om}}{{u}_{1}}+{{{\dot{u}}}_{2}})\vec{\beta }=(1+u˙1−kOmu2)α+(kOmu1+u˙2)β
且有：u˙1=rPmsin⁡(θPm−θ)⋅θ˙,u˙2=−rPmcos⁡(θPm−θ)⋅θ˙{{{\dot{u}}}_{1}}={{r}_{Pm}}\sin ({{\theta }_{Pm}}-\theta )\cdot \dot{\theta },{{{\dot{u}}}_{2}}=-{{r}_{Pm}}\cos ({{\theta }_{Pm}}-\theta )\cdot \dot{\theta }u˙1=rPmsin(θPm−θ)⋅θ˙,u˙2=−rPmcos(θPm−θ)⋅θ˙

则运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗上不动点（Cesaro不动点条件）的在曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的Frenet标架的坐标参数需满足的条件为：
{A1=1−(kOm−θ˙)u2A2=(kOm−θ˙)u1\left\{ \begin{matrix} {{A}_{1}}=1-({{k}_{Om}}-\dot{\theta }){{u}_{2}} \\ {{A}_{2}}=({{k}_{Om}}-\dot{\theta }){{u}_{1}} \\ \end{matrix} \right.{A1=1−(kOm−θ˙)u2A2=(kOm−θ˙)u1
可见Cesaro不动点的运动学意义：不动点恰为运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗的瞬时速度中心（瞬心点，简称瞬心，dR⃗Pds=dR⃗Pdtdtds=0⇒V⃗P=dR⃗Pdt=0\frac{d{{{\vec{R}}}_{P}}}{ds}=\frac{d{{{\vec{R}}}_{P}}}{dt}\frac{dt}{ds}=0\Rightarrow {{{\vec{V}}}_{P}}=\frac{d{{{\vec{R}}}_{P}}}{dt}=0dsdRP=dtdRPdsdt=0⇒VP=dtdRP=0）
可得瞬心点在曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的Frenet标架的坐标参数为：
{u1=0u2=1kOm−θ˙\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=0 \\ {{u}_{2}}=\frac{1}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }} \\ \end{matrix} \right.{u1=0u2=kOm−θ˙1
即：运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗上的瞬心位于原曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm上的法线1kOm−θ˙\frac{1}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }}kOm−θ˙1处，将其从Frenet标架⁣ ⁣{⁣ ⁣R⃗Om:α⃗,β⃗⁣ ⁣}⁣ ⁣\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{{\vec{R}}}_{Om}}:\vec{\alpha },\vec{\beta }\text{ }\!\!\}\!\!\text{ } { ROm:α,β } 转换到固定坐标系{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}中描述，便得到定瞬心线πf{{\pi }_{f}}πf，而将坐标转换到运动坐标系{Om:i⃗m,j⃗m}\{{{O}_{m}}:{{{\vec{i}}}_{m}}, {{{\vec{j}}}_{m}}\}{Om:im,jm}则得到动瞬心线πm{{\pi }_{m}}πm（刚体每个瞬时运动下，瞬心的轨迹曲线）

1.2.2 瞬心线-1

动瞬心线πm{{\pi }_{m}}πm及其曲率km{{k}_{m}}km
运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗相对于固定刚体Σ\SigmaΣ运动时，绝对速度为零的瞬心点在运动刚体Σ∗\Sigma *Σ∗上的轨迹为动瞬心线——在运动坐标系{Om:i⃗m,j⃗m}\{{{O}_{m}}:{{{\vec{i}}}_{m}},{{{\vec{j}}}_{m}}\}{Om:im,jm}上描述：
πm:R⃗m=1kOm−θ˙β⃗{{\pi }_{m}}:{{{\vec{R}}}_{m}}=\frac{1}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }}\vec{\beta }πm:Rm=kOm−θ˙1β

其中，Frenet标架{R⃗Om:α⃗,β⃗}\{{{{\vec{R}}}_{Om}}:\vec{\alpha },\vec{\beta }\}{ROm:α,β}基矢量可视为运动坐标系中过原点的单位圆矢量函数，即：α⃗=e⃗I(θ),β⃗=e⃗II(θ)\vec{\alpha }={{{\vec{e}}}_{I(\theta )}},\vec{\beta }={{{\vec{e}}}_{II(\theta )}}α=eI(θ),β=eII(θ)，进而可知：dα⃗dθ=β⃗,dβ⃗dθ=−α⃗\frac{d\vec{\alpha }}{d\theta }=\vec{\beta },\frac{d\vec{\beta }}{d\theta }=-\vec{\alpha }dθdα=β,dθdβ=−α，从而得到动瞬心线πm{{\pi }_{m}}πm的切矢为：
dR⃗mds=−θ˙kOm−θ˙α⃗−k˙Om−θ¨(kOm−θ˙)2β⃗\frac{d{{{\vec{R}}}_{m}}}{ds}=-\frac{{\dot{\theta }}}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }}\vec{\alpha }-\frac{{{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta }}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}\vec{\beta }dsdRm=−kOm−θ˙θ˙α−(kOm−θ˙)2k˙Om−θ¨β（此处的s为一般参数）

详细推导：
dβ⃗ds=dβ⃗dθdθds=−θ˙α⃗\frac{d\vec{\beta }}{ds}=\frac{d\vec{\beta }}{d\theta }\frac{d\theta }{ds}=-\dot{\theta }\vec{\alpha }dsdβ=dθdβdsdθ=−θ˙α
补充说明： 此时s为曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的弧长参数，在运动坐标系下，标架向量绕坐标系基矢量为回转运动（瞬心点在运动坐标系下留下的轨迹），形成动瞬心线。而在固定坐标系下，曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm与动瞬心线为相伴曲线，及动瞬心线弧长参数与曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的弧长参数之间为一比例关系（如下式），此时求导后的方程需进行归一化，而若直接对本身弧长参数σm{{\sigma }_{m}}σm求导，所得为自然切矢（即不需归一化）；

设动瞬心线πm{{\pi }_{m}}πm的弧长为σm{{\sigma }_{m}}σm，则：dσm=∣R⃗m∣=[θ˙2(kOm−θ˙)2+(k˙Om−θ¨)2(kOm−θ˙)4]12dsd{{\sigma }_{m}}=\left| {{{\vec{R}}}_{m}} \right|={{[\frac{{{{\dot{\theta }}}^{2}}}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}+\frac{{{({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })}^{2}}}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{4}}}]}^{\frac{1}{2}}}dsdσm=∣∣∣Rm∣∣∣=[(kOm−θ˙)2θ˙2+(kOm−θ˙)4(k˙Om−θ¨)2]21ds，建立动瞬心线πm{{\pi }_{m}}πm的Frenet标架{R⃗m:E⃗1m,E⃗2m}\{{{{\vec{R}}}_{m}}:{{{\vec{E}}}_{1m}},{{{\vec{E}}}_{2m}}\}{Rm:E1m,E2m} 为：
{E⃗1m=dR⃗mdσm=dR⃗mdsdsdσm=[−θ˙kOm−θ˙α⃗−k˙Om−θ¨(kOm−θ˙)2β⃗]⋅dsdσmE⃗2m=k⃗×E⃗1m=[k˙Om−θ¨(kOm−θ˙)2α⃗−θ˙kOm−θ˙β⃗]⋅dsdσm\left\{ \begin{matrix} {{{\vec{E}}}_{1m}}=\frac{d{{{\vec{R}}}_{m}}}{d{{\sigma }_{m}}}=\frac{d{{{\vec{R}}}_{m}}}{ds}\frac{ds}{d{{\sigma }_{m}}}=[-\frac{{\dot{\theta }}}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }}\vec{\alpha }-\frac{{{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta }}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}\vec{\beta }]\cdot \frac{ds}{d{{\sigma }_{m}}} \\ {{{\vec{E}}}_{2m}}=\vec{k}\times {{{\vec{E}}}_{1m}}=[\frac{{{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta }}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}\vec{\alpha }-\frac{{\dot{\theta }}}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }}\vec{\beta }]\cdot \frac{ds}{d{{\sigma }_{m}}} \\ \end{matrix} \right.⎩⎨⎧E1m=dσmdRm=dsdRmdσmds=[−kOm−θ˙θ˙α−(kOm−θ˙)2k˙Om−θ¨β]⋅dσmdsE2m=k×E1m=[(kOm−θ˙)2k˙Om−θ¨α−kOm−θ˙θ˙β]⋅dσmds
则在运动坐标系{Om:i⃗m,j⃗m}\{{{O}_{m}}:{{{\vec{i}}}_{m}}, {{{\vec{j}}}_{m}}\}{Om:im,jm}下描述其基矢量为：
{R⃗m=1kOm−θ˙(−sin⁡θi⃗m+cos⁡θj⃗m)E⃗1m=[−θ˙(kOm−θ˙)cos⁡θ+(k˙Om−θ¨)sin⁡θ(kOm−θ˙)2i⃗m−θ˙(kOm−θ˙)sin⁡θ+(k˙Om−θ¨)cos⁡θ(kOm−θ˙)2j⃗m]dsdσmE⃗2m=[θ˙(kOm−θ˙)sin⁡θ+(k˙Om−θ¨)cos⁡θ(kOm−θ˙)2i⃗m+−θ˙(kOm−θ˙)cos⁡θ+(k˙Om−θ¨)sin⁡θ(kOm−θ˙)2j⃗m]dsdσm\left\{ \begin{matrix} {{{\vec{R}}}_{m}}=\frac{1}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }}(-\sin \theta {{{\vec{i}}}_{m}}+\cos \theta {{{\vec{j}}}_{m}}) \\ {{{\vec{E}}}_{1m}}=[\frac{-\dot{\theta }({{k}_{Om}}-\dot{\theta })\cos \theta +({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })\sin \theta }{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}{{{\vec{i}}}_{m}}-\frac{\dot{\theta }({{k}_{Om}}-\dot{\theta })\sin \theta +({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })\cos \theta }{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}{{{\vec{j}}}_{m}}]\frac{ds}{d{{\sigma }_{m}}} \\ {{{\vec{E}}}_{2m}}=[\frac{\dot{\theta }({{k}_{Om}}-\dot{\theta })\sin \theta +({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })\cos \theta }{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}{{{\vec{i}}}_{m}}+\frac{-\dot{\theta }({{k}_{Om}}-\dot{\theta })\cos \theta +({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })\sin \theta }{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}{{{\vec{j}}}_{m}}]\frac{ds}{d{{\sigma }_{m}}} \\ \end{matrix} \right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Rm=kOm−θ˙1(−sinθim+cosθjm)E1m=[(kOm−θ˙)2−θ˙(kOm−θ˙)cosθ+(k˙Om−θ¨)sinθim−(kOm−θ˙)2θ˙(kOm−θ˙)sinθ+(k˙Om−θ¨)cosθjm]dσmdsE2m=[(kOm−θ˙)2θ˙(kOm−θ˙)sinθ+(k˙Om−θ¨)cosθim+(kOm−θ˙)2−θ˙(kOm−θ˙)cosθ+(k˙Om−θ¨)sinθjm]dσmds
进而得到动瞬心线曲率km{{k}_{m}}km：
km=E⃗1mdσm⋅E⃗2m=[θ˙(k¨Om−dθ¨ds)−θ¨(k˙Om−θ¨)+θ˙3(kOm−θ˙)](kOm−θ˙)3[θ˙2(kOm−θ˙)2+(k˙Om−θ¨)2]32{{k}_{m}}=\frac{{{{\vec{E}}}_{1m}}}{d{{\sigma }_{m}}}\cdot {{{\vec{E}}}_{2m}}=\frac{[\dot{\theta }({{{\ddot{k}}}_{Om}}-\frac{d\ddot{\theta }}{ds})-\ddot{\theta }({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })+{{{\dot{\theta }}}^{3}}({{k}_{Om}}-\dot{\theta })]{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{3}}}{{{[{{{\dot{\theta }}}^{2}}{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}+{{({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })}^{2}}]}^{\frac{3}{2}}}}km=dσmE1m⋅E2m=[θ˙2(kOm−θ˙)2+(k˙Om−θ¨)2]23[θ˙(k¨Om−dsdθ¨)−θ¨(k˙Om−θ¨)+θ˙3(kOm−θ˙)](kOm−θ˙)3

定瞬心线πf{{\pi }_{f}}πf及其曲率kf{{k}_{f}}kf
在固定坐标系{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}下描述运动刚体上的瞬心点（动瞬心）即为定瞬心。各瞬时下定瞬心的集合（动瞬心在定坐标系留下的痕迹）——定瞬心线πf{{\pi }_{f}}πf
定瞬心线的矢量方程为： πf:R⃗f=R⃗Om+1k−θ˙β⃗{\pi _f}:{\vec R_f} = {\vec R_{Om}} + {1 \over {k - \dot \theta }}\vec \betaπf:Rf=ROm+k−θ˙1β，可以认为定瞬心线πf{{\pi }_{f}}πf是原曲线ΓOm{{\Gamma }_{Om}}ΓOm的相伴曲线，上式对原曲线的弧长sss求导可得：
dR⃗fds=−θ˙kOm−θ˙α⃗−kOm−θ˙(kOm−θ˙)2β⃗{{d{{\vec R}_f}} \over {ds}} = - {{\dot \theta } \over {{k_{Om}} - \dot \theta }}\vec \alpha - {{{k_{Om}} - \dot \theta } \over {{{({k_{Om}} - \dot \theta )}^2}}}\vec \betadsdRf=−kOm−θ˙θ˙α−(kOm−θ˙)2kOm−θ˙β
进而有定瞬心线弧长σf{\sigma _f}σf与原曲线弧长sss的关系为：
dσf=∣dR⃗f∣=[θ˙2(kOm−θ˙)2+(k˙Om−θ¨)2(kOm−θ˙)4]12dsd{\sigma _f} = |d{{\vec R}_f}| = {[{{{{\dot \theta }^2}} \over {{{({k_{Om}} - \dot \theta )}^2}}} + {{{{({{\dot k}_{Om}} - \ddot \theta )}^2}} \over {{{({k_{Om}} - \dot \theta )}^4}}}]^{{1 \over 2}}}dsdσf=∣dRf∣=[(kOm−θ˙)2θ˙2+(kOm−θ˙)4(k˙Om−θ¨)2]21ds

带入：dβ⃗ds=−kOmα⃗,dα⃗ds=kOmβ⃗{{d\vec \beta } \over {ds}} = - {k_{Om}}\vec \alpha ,{{d\vec \alpha } \over {ds}} = {k_{Om}}\vec \betadsdβ=−kOmα,dsdα=kOmβ

可见：微弧长dσf=dσmd{\sigma _f} = d{\sigma _m}dσf=dσm，可并简写为dσd\sigmadσ——动瞬心线与定瞬心线的微弧长相等，二者纯滚动，则可同样建立定瞬心线πf{{\pi }_{f}}πf的Frenet标架{R⃗f:E⃗1f,E⃗2f}\{ {{\vec R}_f}:{{\vec E}_{1f}},{{\vec E}_{2f}}\}{Rf:E1f,E2f}为：
{E⃗1f=dR⃗fdσmf=dR⃗fdsdsdσf=[−θ˙kOm−θ˙α⃗−k˙Om−θ¨(kOm−θ˙)2β⃗]⋅dsdσfE⃗2f=k⃗×E⃗1f=[k˙Om−θ¨(kOm−θ˙)2α⃗−θ˙kOm−θ˙β⃗]⋅dsdσf\left\{ \begin{matrix} {{{\vec{E}}}_{1f}}=\frac{d{{{\vec{R}}}_{f}}}{d{{\sigma }_{mf}}}=\frac{d{{{\vec{R}}}_{f}}}{ds}\frac{ds}{d{{\sigma }_{f}}}=[-\frac{{\dot{\theta }}}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }}\vec{\alpha }-\frac{{{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta }}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}\vec{\beta }]\cdot \frac{ds}{d{{\sigma }_{f}}} \\ {{{\vec{E}}}_{2f}}=\vec{k}\times {{{\vec{E}}}_{1f}}=[\frac{{{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta }}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}\vec{\alpha }-\frac{{\dot{\theta }}}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }}\vec{\beta }]\cdot \frac{ds}{d{{\sigma }_{f}}} \\ \end{matrix} \right.⎩⎨⎧E1f=dσmfdRf=dsdRfdσfds=[−kOm−θ˙θ˙α−(kOm−θ˙)2k˙Om−θ¨β]⋅dσfdsE2f=k×E1f=[(kOm−θ˙)2k˙Om−θ¨α−kOm−θ˙θ˙β]⋅dσfds
则定瞬心线πf{{\pi }_{f}}πf的Frenet标架在固定坐标系{Of:i⃗f,j⃗f}\{{{O}_{f}}:{{{\vec{i}}}_{f}},{{{\vec{j}}}_{f}}\}{Of:if,jf}下的表示为：
{R⃗f=[xOmf−sin⁡(θ+γ)kOm−θ˙]i⃗f+[yOmf−cos⁡(θ+γ)kOm−θ˙]j⃗fE⃗1f=[−θ˙(kOm−θ˙)cos⁡(θ+γ)+(k˙Om−θ¨)sin⁡(θ+γ)(kOm−θ˙)2i⃗f+θ˙(kOm−θ˙)sin⁡(θ+γ)+(k˙Om−θ¨)cos⁡(θ+γ)(kOm−θ˙)2j⃗f]⋅dsdσE⃗2f=[θ˙(kOm−θ˙)sin⁡(θ+γ)+(k˙Om−θ¨)cos⁡(θ+γ)(kOm−θ˙)2i⃗f+−θ˙(kOm−θ˙)cos⁡(θ+γ)+(k˙Om−θ¨)sin⁡(θ+γ)(kOm−θ˙)2j⃗f]⋅dsdσ\left\{ \begin{matrix} {{{\vec{R}}}_{f}}=[{{x}_{Omf}}-\frac{\sin (\theta +\gamma )}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }}]{{{\vec{i}}}_{f}}+[{{y}_{Omf}}-\frac{\cos (\theta +\gamma )}{{{k}_{Om}}-\dot{\theta }}]{{{\vec{j}}}_{f}} \\ {{{\vec{E}}}_{1f}}=[\frac{-\dot{\theta }({{k}_{Om}}-\dot{\theta })\cos (\theta +\gamma )+({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })\sin (\theta +\gamma )}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}{{{\vec{i}}}_{f}}+\frac{\dot{\theta }({{k}_{Om}}-\dot{\theta })\sin (\theta +\gamma )+({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })\cos (\theta +\gamma )}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}{{{\vec{j}}}_{f}}]\cdot \frac{ds}{d\sigma } \\ {{{\vec{E}}}_{2f}}=[\frac{\dot{\theta }({{k}_{Om}}-\dot{\theta })\sin (\theta +\gamma )+({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })\cos (\theta +\gamma )}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}{{{\vec{i}}}_{f}}+\frac{-\dot{\theta }({{k}_{Om}}-\dot{\theta })\cos (\theta +\gamma )+({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })\sin (\theta +\gamma )}{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}}{{{\vec{j}}}_{f}}]\cdot \frac{ds}{d\sigma } \\ \end{matrix} \right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Rf=[xOmf−kOm−θ˙sin(θ+γ)]if+[yOmf−kOm−θ˙cos(θ+γ)]jfE1f=[(kOm−θ˙)2−θ˙(kOm−θ˙)cos(θ+γ)+(k˙Om−θ¨)sin(θ+γ)if+(kOm−θ˙)2θ˙(kOm−θ˙)sin(θ+γ)+(k˙Om−θ¨)cos(θ+γ)jf]⋅dσdsE2f=[(kOm−θ˙)2θ˙(kOm−θ˙)sin(θ+γ)+(k˙Om−θ¨)cos(θ+γ)if+(kOm−θ˙)2−θ˙(kOm−θ˙)cos(θ+γ)+(k˙Om−θ¨)sin(θ+γ)jf]⋅dσds
进而得到定瞬心线曲率kf{{k}_{f}}kf：
kf=E⃗1fdσf⋅E⃗2f=[θ˙(k¨Om−dθ¨ds)−θ¨(k˙Om−θ¨)+(k˙Om−θ¨)2+θ˙2kOm(kOm−θ˙)](kOm−θ˙)3[θ˙2(kOm−θ˙)2+(k˙Om−θ¨)2]32{{k}_{f}}=\frac{{{{\vec{E}}}_{1f}}}{d{{\sigma }_{f}}}\cdot {{{\vec{E}}}_{2f}}=\frac{[\dot{\theta }({{{\ddot{k}}}_{Om}}-\frac{d\ddot{\theta }}{ds})-\ddot{\theta }({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })+{{({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })}^{2}}+{{{\dot{\theta }}}^{2}}{{k}_{Om}}({{k}_{Om}}-\dot{\theta })]{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{3}}}{{{[{{{\dot{\theta }}}^{2}}{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}+{{({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })}^{2}}]}^{\frac{3}{2}}}}kf=dσfE1f⋅E2f=[θ˙2(kOm−θ˙)2+(k˙Om−θ¨)2]23[θ˙(k¨Om−dsdθ¨)−θ¨(k˙Om−θ¨)+(k˙Om−θ¨)2+θ˙2kOm(kOm−θ˙)](kOm−θ˙)3

动、定瞬心线的诱导曲率k∗k*k∗为：
k∗=kf−km=(kOm−θ˙)3[θ˙2(kOm−θ˙)2+(k˙Om−θ¨)2]12k*={{k}_{f}}-{{k}_{m}}=\frac{{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{3}}}{{{[{{{\dot{\theta }}}^{2}}{{({{k}_{Om}}-\dot{\theta })}^{2}}+{{({{{\dot{k}}}_{Om}}-\ddot{\theta })}^{2}}]}^{\frac{1}{2}}}}k∗=kf−km=[θ˙2(kOm−θ˙)2+(k˙Om−θ¨)2]21(kOm−θ˙)3

关于刚体平面运动的结论：
刚体作平面运动时，在运动刚体和固定刚体上分别存在动瞬心线和定瞬心线，这两条瞬心线的活动标架在瞬心点处瞬时重合，即有相同的切线和法线，而且微弧长相等，故有动瞬心线和定瞬心线随刚体运动而相切地纯滚动。
即：
dσf=dσm,R⃗f=R⃗Om+R⃗m,E⃗1f∥E⃗1m,E⃗2f∥E⃗2md{{\sigma }_{f}}=d{{\sigma }_{m}},{{{\vec{R}}}_{f}}={{{\vec{R}}}_{Om}}+{{{\vec{R}}}_{m}},{{{\vec{E}}}_{1f}}\parallel {{{\vec{E}}}_{1m}},{{{\vec{E}}}_{2f}}\parallel {{{\vec{E}}}_{2m}}dσf=dσm,Rf=ROm+Rm,E1f∥E1m,E2f∥E2m
注：上述结论只阐述瞬时性质，不是恒等式。