多维随机变量与其对应的分布

2024-05-11 00:56:05

0. 多维随机变量

一般，设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S={e}S=\{e\}，设 X=X(e)X=X(e) 和 Y=Y(e)Y=Y(e) 是定义在 SS 上的随机变量，由它们构成的一个向量 (X,Y)(X,Y) ，叫做二维随机向量或二维随机变量。

二维随机向量 (X,Y)(X,Y) 的性质不仅与 XX 与 YY 有关（各自的分布形式），而且还依赖于这两个随机变量的相互关系（是否独立等）。

联合分布函数的定义：设 (X,Y)(X,Y) 是二维随机变量，对于任意实数 x,yx,y，二元函数：

F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P(X≤x,Y≤y)

F(x,y)=P\{(X\leq x) \cap (Y\leq y)\}=P(X\leq x,Y\leq y)
称为二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的分布函数，或称为随机变量 XX 和 YY 的联合分布函数。

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多维随机变量的联合分布函数除了具有一般分布函数的 3 条性质之外，还一条：

P{x1≤X≤x2,y1≤Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)−F(x1,y2)≥0

P\{x_1\leq X\leq x_2, y_1\leq Y\leq y_2\} = F(x_2, y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)\geq 0

1. Z=X+YZ=X+Y 的分布

设 (X,Y)(X,Y) 是二维连续型随机变量，它具有概率密度 f(x,y)f(x,y)，则 Z=X+YZ=X+Y 为连续型随机变量，其概率密度为：

fX+Y(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dx

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^\infty f(x,z-x)dx

或：

fX+Y(z)=∫∞−∞f(z−y,y)dy

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^\infty f(z-y, y)dy

又若 XX 和 YY 相互独立，设 (X,Y)(X,Y) 关于 X,YX,Y 的边缘密度分别为 fX(x)f_X(x)，fY(y)f_Y(y)，则：

fX+Y(z)=∫∞−∞fX(x)⋅fY(z−x)dx

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\cdot f_Y(z-x)dx

2. 例题

设 XX 和 YY 是两个相互独立的随机变量，它们都服从 N(0,1)\mathcal N(0, 1) 分布，求 Z=X+YZ=X+Y 的概率密度。

fZ(z)=∫∞−∞fX(x)fY(z−x)dx

f_Z(z)=\int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x) dx

结论，一般，设 X,Y 相互独立且 X∼N(μ1,σ21),Y∼N(μ2,σ22)X\sim \mathcal N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim \mathcal N(\mu_2,\sigma_2^2)，经过计算 Z=X+YZ=X+Y 仍然服从正态分布，且有 Z∼N(μ1+μ2,σ21+σ22)Z\sim \mathcal N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)；

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