分治法（divide conquer）与动态规划（dynamic programming）应用举例

动态规划三大重要概念：最优子结构，边界，状态转移公式（问题规模降低，如问题由 nn 的规模降低为 n−1n-1 或 n−2n-2 及二者之间的关系）；

0. 爬台阶

F(n)⇒F(n−1)+F(n−2)

F(n) ⇒ F(n-1)+F(n-2)

F(n−1),F(n−2)F(n-1), F(n-2) 即是 F(n)F(n) 的最优子问题；
F(1)=1,F(2)=2F(1)=1, F(2)=2 是问题的边界；
F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(n)=F(n-1)+F(n-2) 则是问题的状态转移公式；

1. 数列快速求和和矩阵快速乘法

1+2+⋯+n==(1+⋯+n2)+((n2+1)+⋯+(n2+n2))2⋅(1+⋯+n2)+n2⋅n2

\begin{split} 1+2+\cdots+n=&\left(1+\cdots+\frac n2\right)+ \left((\frac n2+1)+\cdots+(\frac n2+\frac n2)\right)\\ =&2\cdot\left(1+\cdots+\frac n2\right)+\frac n2\cdot \frac n2\\ \end{split}

也即：f(n)=2⋅f(n2)+n24f(n)=2\cdot f(\frac n2)+\frac{n^2}4 ⇒ 问题的规模以 n/2n/2 的缩小，时间复杂度从 O(n)O(n) 变为 O(logn)O(\log_n)；

int fastSum(int n){if (n == 1) return 1;if (n % 2) return fastSum(n-1) + n;return 2*fastSum(n/2)+n/2*n/2;
}

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