假设检验——抽样调查的结论依赖于样本量的大小

随机非随意

概率破玄机

无序引有序

统计解迷离

- 严加安

现在有一种说法：抽烟会降低患老年痴呆的风险。为检验这一说法是否可信，设想某医疗机构在某个城市从65-75岁的人群中进行随机抽样调查了1000个人，分别统计抽烟者和非抽烟者老年痴呆症患病人数。结果显示：

250人是抽烟者，其中老年痴呆患者10人
750非抽烟者，其中老年痴呆患者45人

两类人中患老年痴呆症的比率分别是4%和6%，表面上看，差异显著，但是否能够根据这一差异来据此断定吸烟有助于预防老年痴呆症呢？

我们可以用统计学中的假设检验来回答这一问题，统计学知道，如果“吸烟不降低老年痴呆症患病率”这一假设乘以，如下定义的统计量将近似服从∼(0,1)\mathcal{N}\sim(0, 1)：

ξ=p2−p1(1n1+1n2)(p(1−p))‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

\xi=\frac{p_2-p_1}{\sqrt{(\frac1{n_1}+\frac1{n_2})(p(1-p))}}

其中n1,n2n_1,\,n_2分别是抽烟者和非抽烟者的人数，p1,,p2p_1,,\,p_2分别为抽烟者和非抽烟者患老年痴呆症比率，pp为两类人总体患老年痴呆症比率。

ξ=0.06−0.04(1750+1250)(0.055×0.945)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

\xi=\frac{0.06-0.04}{\sqrt{(\frac1{750}+\frac1{250})(0.055\times0.945)}}

此时得ξ≈1.2\xi\approx1.2，查表可知，ξ≥1.2\xi\geq1.2的概率超过15%，这一结果还不足以否定“吸烟不降低老年痴呆症患病率”这一假设，如果将抽样人数扩大到4000人，假定两类人也相应地扩大4倍，而且患病率仍然分别是4%和6%，这时算得：

ξ=0.06−0.04(11000+13000)0.055×0.945‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

\xi=\frac{0.06-0.04}{\sqrt{(\frac1{1000}+\frac1{3000})0.055\times 0.945}}
唯一变化的只有 n1,n2n_1,\,n_2，此时 ξ≈2.4\xi\approx2.4，查表可知， ξ≥2.4\xi\geq2.4的概率小于1%，此时我们有99%的把握断定抽烟能够降低老年痴呆症患病率了。

抽样调查的结论不仅要看统计数据（决定p1,p2,pp_1,p_2,p），还要看样本量的大小n1,n2,nn_1,n_2,n

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