裴蜀(贝祖)定理及其证明

定理

$\large{ax+by=c,x\in Z^*,y\in Z^*}$成立的充要条件是$\large{\gcd(a,b)|c}$

证明

设$\large {s=\gcd(a,b)}$，显然$\large{s|a}$，并且$\large {s|b}$

又因为$\large {x,y\in Z^*}$

所以$\large{s|ax,s|by}$

显然要使得之前的式子成立，则必须满足$\large c$是$\large a$和$\large b$的公约数的倍数

又因为$\large x$和$\large y$是正整数

所以$\large c$必然是$\large a,b$最大公约数的倍数。

因此，证得该定理成立

说明

该定理完全可以推广到若干数的线性组合

例题的话，请看这里：Luogu 4549 裴蜀定理/Min

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