Laplacian of Gaussian (LOG) 高斯拉普拉斯算子

Laplacian（拉普拉斯）是对于一张图像的二阶空间导数上各向同性的测量。一张图像的Laplacian会显示出intensity（亮度）剧烈变化的区域，所以经常用作边缘检测。

一幅图像的拉普拉斯变换可以用下面的式子表示: I(x,y)代表带有亮度信息的图像。

$\mathbf{L(x,y)}=\mathbf{\frac{\partial^2 I }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 I }{\partial y^2}}$

因为输入的图像都是用离散的像素表示的，例如256*256，所以我们需要找到离散的卷积核来近似laplacian变换。两个最常用的小卷核是

因为卷积核是对图像二阶求导的一种近似，所以它对于噪声来说更加敏感。为了克服这一点，通常在进行laplacian之前，先进行Gaussian Smooth(高斯平滑)。所以L*(G*I)，这里I 表示的是图像，G表示的是Gaussian Smoothing Filter

2D图像中各向同性的高斯形式： $G(x,y,\sigma)= \frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$

因为卷积运算满足结合律，所以可以先对Gaussian Smoothing Filter 和 Laplacian Filter进行卷积，之后在将卷积结果和图像I 进行卷积。这样一来有两个好处：

（1）两个Filter都是比较小，所以运算少

（2）在对图像进行实时处理时，只有一个卷积运算

到现在为止就变成了使用Laplacian of Gaussian 对图像I 进行卷积， 2-D的LOG（中心在零点，标准差为sigma）如图所示：

2D LOG公式： $LOG(x,y)=-{\frac{1}{\pi \sigma^4}}[1-\frac{x^2 +y^2}{2\sigma^2}]e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$

这个公式是直接对上文中提到的2D高斯函数进行Laplacian得到的。

$G(x,y,\sigma)= \frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$ 和 $\mathbf{L(x,y)}=\mathbf{\frac{\partial^2 G }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 G}{\partial y^2}}$ ，这里推导一下。纯手动敲打，有错的话留言提醒一下。

$\frac{\partial G }{\partial x} = \frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}(-\frac{x}{\sigma^2}) = -\frac{x}{2\pi\sigma^4}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$

$\frac{\partial^2 G }{\partial x^2} = -\frac{1}{2\pi\sigma^4}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}} + \frac{x^2}{2\pi\sigma^6}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$

$\frac{\partial^2 G }{\partial y^2} = -\frac{1}{2\pi\sigma^4}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}} + \frac{y^2}{2\pi\sigma^6}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$

$\therefore \mathbf{L(x,y)}=\mathbf{\frac{\partial^2 G }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 G}{\partial y^2}}=-{\frac{1}{\pi \sigma^4}}[1-\frac{x^2 +y^2}{2\sigma^2}]e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$

根据上面的叙述，对于一个intensity变化剧烈的边界（如下图左，在x左侧比较暗，在x的右侧比较亮）对其进行二阶求导之后，可以发现，x的左侧LOG结果为正，在右侧为负，所以在亮的地方LOG响应为负，在暗的地方响应为正。

所以在边缘处的LOG响应具有如下的特点：

zero at a long distance from the edge(我画的可能不太明显)；
positve just to one side of the edge；
negative just to the other side of the edge；
zero at some point in between, on the edge itself。

参考链接：

https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/log.htm

https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/gsmooth.htm

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