数论——同余和费马小定理

同余：如果对于a和b，有a-b求余m等于零，则我们说a和b同余，记为a≡b(mod m)

其实我们也可以通俗易懂的总结一下，就是a mod m == b mod m

互质：gcd(a,b) == 1，我们就说两个数是互质的

费马小定理：对于a和p两个互质的数，存在等式a^(p-1)≡1(mod p)

我们举个经典的例子吧

对于2^100 mod 13 我可以看到，这里13和2是互质的，我们要用费马小定理的话应该怎么办？

是不是要构造出13-1啊！所以有 2^100≡(2^((12*8)+4))(mod 13)，到了这一步，我们就可以用费马小定理了

对于2^12 是不是有2^12≡1mod13，所以我们去替换就行了

说的更明白点就是，2^100 和 2^((12*8)+4)) 取摸 13 的值相等，也就是和 (2^(12*8)mod13 * 2^4mod13)mod13相等，也就是和((1mod13)^8*2^4mod13)mod13相等，说到这里，大家就应该明白了吧，我这辈子应该也忘不了了吧

下面给一个经典题目吧

这个题目重在条件转换，这是数论题目的常规操作

我们首先需要理解S(k) be the number of (x1,x2,......,xk)，这句话的意思是S（k）代表k个数能相加等于N的序列数目

然后还有一个问题是，例如N等于3，k = 2时，1+2和2+1是不是一个序列，这个问题模棱两可，但是数论问题就是要找规律，我们认定这是两个序列的话，容易得出来，S(1) + .... +S(N)等于2^(n-1)，这样就可以用到费马小定理了！

具体见下面的AC代码

Input

Output

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
string n;
int main()
{while(cin>>n){ll mod = 1000000006;ll sum = 0;ll power = 10;ll k = n.size()-1;while(n[k] == '0'){k--;}n[k] = n[k] - 1;for(ll i = n.size()-1; i > k; i--){n[i] = '9';}for(ll i = 0; i < n.size(); i++){sum = sum * power + (n[i]-'0');if(sum >= mod){sum %= mod;}}ll a = 2;ll result = 1;ll mod1 = 1000000007;while(sum){if(sum % 2 == 1) result = (result*a)%mod1;a = (a*a)%mod1;sum/=2;}cout<<result<<endl;}return 0;
}

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