【数据结构笔记08】哨兵查找、二分查找、树、儿子-兄弟表示法、二叉树的引子

本次笔记内容：
3.1.1 引子（顺序查找）
3.1.2 引子（二分查找例子）
3.1.3 引子（二分查找实现）
3.1.4 树的定义和术语
3.1.5 树的表示

文章目录

树的引子：查找
- 查找（Searching）
- 静态查找
- - 方法1：顺序查找（哨兵）
  - 方法2：二分查找（Binary Search）
  - 二分查找的实现
  - 二分查找的启示（二分查找判定树）
树
- 树与非树
- 树的基本术语
- 树的实现（儿子-兄弟表示法）

树的引子：查找

客观事件中许多事物存在层次关系。
分层次组织在管理上具有更高的效率（查找）。

查找（Searching）

查找就是根据某个给定的关键字K，从集合R中找出关键字与K相同的记录。
静态查找：没有插入和删除的操作；
动态查找：有插入的删除的操作。

静态查找

方法1：顺序查找（哨兵）

上述方法没有应用哨兵。

使用技巧：哨兵，在边缘处放置一个值（index=0处），如果查找到“哨兵”，循环就应该退出。哨兵减去了循环过程中边界片段的行为。

上述是哨兵的实现，在0处放置K；如果不成功，返回0。顺序查找算法的时间复杂度是o(n)。

方法2：二分查找（Binary Search）

如上图，二分查找必须在数组中，必须按大小排序。

如上图，当left>right时，可断定要找的元素不在数组中。

二分查找的实现

int BinarySearch(List Tbl, ElementType K)
{int left, right, mid, NotFound = -1;left = 1;right = Tbl->Length;while (left <= right){mid = (left + right) / 2;if (K < Tbl->Element[mid])right = mid - 1;else if (K > Tbl->Element[mid])left = mid + 1;elsereturn mid;}return NotFound;
}

每次循环查找范围都除以二，因此时间复杂度为log_2(n)。

二分查找的启示（二分查找判定树）

判定树上每个结点需要的查找次数刚好为该结点所在层数；
查找成功时查找次数不会超过判定树的深度；
n个结点的判定树的深度为[log2n]+1[log_2n]+1[log2n]+1。
ASL（平均成功查找次数）=(44+43+2*2+1)/11=3。查找4次才成功的有4个元素，以此类推。

因此，引出查找树的概念。查找树时间复杂度也为log_2(n)，但插入、删除操作更为方便。因此适于动态查找。

树

树（Tree）：n（n大于等于0）个结点构成的有限集合。

当n=0时，称为空树；
对于任一棵非空树（n大于0），具备以下性质：
- 树中有一个称为“根（Root）”的特殊结点，用r表示；
- 其余结点可分为m（m大于0）个互不相交的有限集T_1，T_2，…，T_m，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树（SubTree）”。

树与非树

如上图，子树是不相交的；一棵N个结点的树有N-1条边。

树的基本术语

结点的度（Degree）：结点的子树个数；
树的度：树的所有结点中最大的度数；
叶结点（Leaf）：度为0的结点；
父节点（Parent）：有子树的结点是其子树的根结点的父结点；
子节点（Child）：若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点；子结点也称孩子结点；
兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各个结点彼此是兄弟结点；
路径和路径的长度：从结点n_1到n_k的路径为一个结点序列n_1，n_2，…，n_i是n_{i+1}的父结点。路径所包含的个数为路径的长度；
祖先结点（Ancestor）：沿树根到某一节点路径上所有结点都是这个结点的祖先结点；
子孙结点（Descendant）：某一节点的子树中的所有结点是这个结点的子孙；
结点的层次（Level）：规定根节点在1层，其他任一结点的层数是其父结点的层数加1；
树的深度（Depth）：树中所有结点中最大层次是这棵树的深度。

树的实现（儿子-兄弟表示法）

如上图树难以用数组、链表表示（每个结点不一样）。

因此采用儿子兄弟表示法。

将上述链表旋转45度，如下图。

旋转45度后，每个链结点都有0-2个子树。因此二叉树可以表示任意树。二叉树是树结构研究中最为重要的内容。

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