前言

这是一个伤心的故事：我已经好久没有写博客了。。。
当然这次跟大家分享的是一个很玄学的东西——Pollard_rho
为什么说他很玄学呢？大家可以在等下的代码中看出来（全是rand。。。）
当然，这也是我的第一篇用markdown写的博客哈~~ 值得庆祝值得庆祝

正文

题目

全英版

Given a big integer number, you are required to find out whether it’s a prime number.

Input

The first line contains the number of test cases T (111 <= T <= 202020 ), then the following T lines each contains an integer number N (222 <= N < 2542^{54}254).

Output

For each test case, if N is a prime number, output a line containing the word “Prime”, otherwise, output a line containing the smallest prime factor of N.

Sample Input

2
5
10

Sample Output

Prime
2

中翻版

（什么翻译啊这个）
我觉得这个翻译什么的，能自己翻还是自己动手吧。。。
其实题目描述差不多就是这样的：
给定t组，如果说输入的是一个质数，就输出prime，否则输出最小的质数。

解析

看起来这个题目似乎很简单啊，典型的 暴力打表 嘛，但是如果说这个数据很大怎么办？？关键还不只是数据大而已，是非常大诶——longlong类型。
因此，我们就必须引入今天的 玄学主题 了：PollardrhoPollard rhoPollardrho.

Pollardrho

Pollard_rho是一种基于随机的算法，它的思路是先用 miller_rabin 来判断当前数是否已经是素数了，如果是的话记录并返回。如果不是，我们设要分解的数为n,那么我们考虑去找一个当前数的因数p，找到之后再分别对p和n/p分解质因数，有一点类似分治但是不是分治。
那么，我们要如何快速地找到当前数的因数呢？
这里，我们采用以下方法：先随机生成两个1~n的数，利用这两个数差的绝对值和n比较，来判断这两个数差的绝对值是不是n的一个因数。

具体如图：

在这里只到所有的p都为质数为止。
可是为什么要采用这样的方法来找n的因数呢？那么这里就要引入一个东西了——生日悖论
当然在这里就不再赘述了哈，大家可以自己看下。
其实简单来说，就是选一个概率更高的 “算法” 来进行推因数而已。因为的话，就算一个数的因子再多，你也不一定很快就能随机一个出来对吧 （毕竟RP摆在那里的呢）
但是如果说是选两个数的话，就比较容易了。设p为n的一个因数，那么这两个数就是x和x+p而已，这样随机的可能性就大得多。

当然，这两个数也不能随便随机吧，因此又来了一个玄学的方法了：
设这两个数为x和y，x是随机的一个数，令y 等于 x；
设一个随机数c，令 x=x∗x+c(modn)x = x * x + c \pmod nx=x∗x+c(modn) ；
这个时候就能进行减法了；
然而每进行 2k2 ^{k}2k 次运算就要重新将y赋为当前的x；
“一直循环”，直到找到n的因数为止

当然，其实也不是一直循环，是在满足一个条件后就可以退出了:

因为在大量数据中表明，x的变化会满足上图，也就是希腊字母 ρ\rhoρ。
因此在那个圆圈的时候，就说明已经出现循环了，因此此次随机的值也就没有任何意义了，就可以退出了。

注意事项

因为这个数据十分的巨大，要用 longlonglonglonglonglong 来存。当然用longlonglonglonglonglong也是有可能爆空间的，因此要边更新边模。
当然，在x变化的地方，也是要用到快速乘（类似于快速幂）以防爆空间的。在millerrabinmiller_rabinmillerrabin判素数中会运用到小费马定理和二次探测定理，在这之中也要用到快速幂来计算，否则依然会爆空间。
最后一点也十分重要——wa过几次的血泪教训——在快速幂中的乘法也要用快速乘！！！！！

参考代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <ctime>
using namespace std;
#define LL long long
#define min(a, b) a < b ? a : b
#define max(a, b) a > b ? a : btemplate <typename T>
void re (T &x){x = 0; char c = getchar ();while (c < '0' || c > '9') c = getchar ();while (c >= '0' && c <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;c = getchar ();}
}template <typename T>
void pr (T x){if (x < 0){putchar ('-');x = ~x + 1;}if (x / 10) pr (x / 10);putchar (x % 10 + 48);
}int t;
LL n, minn = 0x3f3f3f3f;LL Gcd (LL x, LL y){if (x == 0) return 1;if (x < 0) return Gcd (-x, y);/*if (x < y){x ^= y;y ^= x;x ^= y;}*/return y == 0 ? x : Gcd (y, x % y);
}LL qkmul (LL x, LL b, LL mod){LL tot = 0;while (b){if (b & 1) tot = tot + x % mod;x = (x * 2) % mod;b >>= 1;}return tot % mod;
}LL qkpow (LL x, LL b, LL mod){LL tot = 1;while (b){if (b & 1) tot = qkmul (tot, x, mod);x = qkmul (x, x, mod);b >>= 1;}return tot % mod;
}bool miller_rabin (LL n){//判素数，利用二次探测和费马小定理，双重判断if (n == 2) return 1;if (n < 2 || n % 2 == 0)return 0;LL u = n - 1, pre, x;int k = 0;while ((u & 1) == 0){//可以将a^u分为(a^v)^(2^k)u >>= 1;k ++;}for (int i = 1; i <= 10; i++){x = rand () % (n - 1) + 1;x = qkpow (x, u, n);pre = x;for (int j = 1; j <= k; j++){x = qkmul (x, x, n);if (x == 1 && pre != 1 && pre != n - 1) return 0;//二次探测pre = x;}if (x != 1) return 0;//费马小定理}return 1;
}//先随机生成两个数x和c，每次都使x=x*x+c(mod n) ，另外再设置一个数y，y的初始值为x，每进行2^k次操作，就让y记为现在的x
LL pollard_rho (LL n, LL c){//随机生成两个1~n的数，利用这两个数差的绝对值和n比较，来判断这两个数差的绝对值是不是n的因数LL i = 1, k = 2;LL x = rand () % n, y = x;while (1){x = (qkmul (x, x, n) + c) % n;LL gcd = Gcd (x - y, n);if (gcd > 1 && gcd < n)return gcd;if (x == y) return n;//如果说x=y了就说明随机失败，返回n重新来过if (i == k){k <<= 1;y = x;}i ++;}
}void Find (LL n){//找出n的因数，并一直分下去，分成p和n/p，直到所有都变成素数，返回if (miller_rabin (n)){minn = min (minn, n);return ;}LL p = n;while (p == n)//理论上来说不可能大于np = pollard_rho (p, rand () % (n - 1) + 1);Find (p);Find (n / p);
}int main (){srand (time (0));re (t);while (t --){re (n);if (miller_rabin (n)){//素数测试printf ("Prime\n");continue;}minn = 0x3f3f3f3f;Find (n);pr (minn);putchar (10);}
}

[玄学]——数论高级之分解质因数（Pollard_rho）（POJ 1811）相关推荐

Composite Coloring(思维数论(筛素数分解质因数))
(29条消息) CodeForces - 1332B Composite Coloring(数论+构造)_Frozen_Guardian的博客-CSDN博客 (29条消息) codeforces 13 ...
数论 - 分解质因数+欧拉函数 - Relatives POJ - 2407
数论 - 分解质因数+欧拉函数文章目录数论 - 分解质因数+欧拉函数一.分解质因数二.欧拉函数三.模板: Relatives POJ - 2407 一.分解质因数由算术基本定理 ...
算法刷题-数论-质数的判定、分解质因数、筛质数
文章目录数论 1. 质数质数的判定---试除法分解质因数---试除法筛质数朴素筛法埃氏筛法线性筛法数论 1. 质数质数:在大于1的整数中,如果只包含1和它本身这两个约数,那么这个数就 ...
python【蓝桥杯vip练习题库】BASIC-16分解质因数（数论质数分解）
试题基础练习分解质因数资源限制时间限制:1.0s 内存限制:512.0MB 问题描述求出区间[a,b]中所有整数的质因数分解. 输入格式输入两个整数a,b. 输出格式每行输出一个数的分解 ...
codeforces：E1. Divisible Numbers (easy version)【数论 + 复杂度计算 + 分解质因数】
目录题目截图题目分析想法1:遍历所有可能的xy(tle) 想法2:遍历可能的x(accepted) 总结题目截图题目分析想法1,遍历所有kab作为xy的所有可能值,找到其所有因子,然后看看 ...
[数论+模板] 分解质因数(模板)
文章目录 1. 分解质因数+模板 1. 分解质因数+模板 867. 分解质因数百度百科:算术基本定理思路: 暴力枚举:从小到大枚举 nnn 的所有约数,如果 n%i==0n \% i == 0n% ...
计蒜客 T1817 分解质因数（数论）
传送门奥编写一个把整数 N 分解为质因数乘积的程序.比如分解 210 ,可以写成210=235*7,请按这个格式输出. 输入格式一个整数 N ( 2 ≤ N ≤ 10 9 ) . 输出格式输出把 ...
c语言用质因数分解法求最大公约数,分解质因数法求最大公约数(javascrip实现)
//判断是否为质数------------------------------------------------------ function isPrime(n) { for (var i = n ...
分解质因数-Pollard‘s Rho
Pollard's Rho 质数的判定试除法 Fermat 素性测试 Miller-Rabin 素性测试查找因数还是试除法 Pollard's Rho 分解质因数随便写写,不喜勿喷. 质数 ...

[玄学]——数论高级之分解质因数（Pollard_rho）（POJ 1811）

前言

正文

题目

全英版