第九章向量空间，维度和四大子空间

9.1空间，向量空间和欧几里得空间

什么是空间？

空间就是一个集合。

欧几里得空间

欧几里得空间是有序实数元组的集合

（6,66）属于二维欧几里得空间

（3.14,0，sqrt(2)）属于三维欧几里得空间。

欧几里得空间是点集；

是起点为原点的向量集合

什么是向量空间？

空间中的元素是“向量”

什么让向量成为向量？

我们必须定义两种运算：加法和数量乘法

对于一个向量空间v

如果u,v都属于V，则u+v属于V,如果u属于V，k是一个实数，则ku属于V在数学上，被称为封闭（closure）

9.2广义向量空间

为了区别，通常把非欧几里得空间的向量空间，称为广义向量空间。

所有的2*2方阵，构成一个向量空间

加法：矩阵加法；数量乘法：矩阵数量乘法

所有的n阶方阵，构成一个向量空间

所有的2*3的矩阵，构成一个向量空间

加法：多项式加法；数量乘法；多项式乘以一个数

9.3子空间

假设V是一个向量空间，如果S是V的子集，且S还是一个向量空间，则称S是V的一个子空间

假设V是一个向量空间，如果S是V的子集，且S对加法和数量乘法封闭（满足十大性质），则称S是V的一个子空间

9.4直观理解欧几里得空间

对于三维空间来说：

过原点的一个平面，是三维空间的一个子空间。

过原点的一个直线，是三维空间的一个子空间。

原点本身，是三维空间的一个子空间。

对于n维空间来说：

过原点的一个m维空间（m<n）,是n维空间的一个子空间。

9.5维度

向量空间欧几里得空间

空间的基：一组向量；生成空间；线性无关

一个空间的基中，向量的个数，称为维度。

二维欧几里得空间的维度为2.（由标准向量空间组成）

dim(R^2) =2

三维欧几里得空间的维度为3.（由标准向量空间组成）

dim(R^3) =3

n维欧几里得空间的维度为n

dim(R^n)= n

9.6行空间和矩阵的行秩

9.7列空间

对于一个矩阵列向量生成的空间，称为列空间

m行n列，列空间是m维空间的子空间

一个矩阵的行最简形式的主元列数量称为矩阵的列秩

列空间的维度，为矩阵的列秩。

求出列空间的一组基

主元列的对应原矩阵的列，是列空间的一组基。

注意！和行空间的区别。行最简形式中的非零行，不是一组基。

对于一个m行n列的矩阵

行空间是n维空间的子空间

行最简形式的非零行个数为矩阵的行秩

行空间的维度，为矩阵的行秩

行最简形式的非零行，是行空间的一组基。

9.8矩阵的秩（Rank）和矩阵的逆

矩阵的秩 = 矩阵的行秩 = 矩阵的列秩

9.9求矩阵的秩实现（编程）

9.10零空间

一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间。

一个齐次线性方程组一定有解。

或者有唯一零解->向量空间

或者有无数解。

如果系数矩阵为m*n的矩阵，解为n维向量

如果解形成向量空间，则该向量空间是n维空间的一个子空间

回忆：假设V是一个向量空间，如果S是V的子集，且S对加法和数量乘法封闭，

则称S是的一个子空间

9.11零空间与秩零化定理

零空间的维度是多少？能否给出一组基？

为什么要研究子空间

子空间维度大大降低

其他一些应用的基础

Ax = b

如果的行数大于列数

方程数大于未知数个数

找A的列空间中离b最近的b