高等数学——导数的定义和常见导数

本文始发于个人公众号：TechFlow

导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。

函数切线

关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。

比如当下，我们有一个光滑的函数曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)，我们想要求出这个曲线在某个点MMM的切线，那么应该怎么操作呢？

如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，∠NMT\angle NMT∠NMT在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。

在图中，MN的斜率表示为tan⁡ϕ\tan\phitanϕ，其中tan⁡ϕ=f(x)−f(x0)x−x0\tan\phi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}tanϕ=x−x0f(x)−f(x0).

当N逼近于M时：

tan⁡ϕ=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\displaystyle\tan\phi= \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}tanϕ=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)

我们令Δx=x−x0\Delta x = x - x_0Δx=x−x0，所以：

tan⁡ϕ=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\displaystyle\tan\phi=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}tanϕ=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)

此时tan⁡ϕ\tan\phitanϕ的结果就是函数在x0x_0x0处导数的值，上面这个方法大家应该也都不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为换元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。

定义

假设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0处的邻域内有定义，当自变量xxx在x0x_0x0处取得增量Δx\Delta xΔx(x0+Δxx_0 + \Delta xx0+Δx仍然在x0x_0x0的邻域内)，相应的函数取得增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)。如果ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy在Δx→0\Delta x \to 0Δx→0时的极限存在，称为函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0处可导。它的导数写成f′(x0)f'(x_0)f′(x0)

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)

f′(x0)f'(x_0)f′(x0)也可以记成dydx\displaystyle\frac{dy}{dx}dxdy，或者df(x)dx\displaystyle\frac{df(x)}{dx}dxdf(x)。

如果函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在开区间III内可导，说明对于任意x∈Ix \in Ix∈I，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数f(x)f(x)f(x)的导函数，记作f′(x)f'(x)f′(x)。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果lim⁡x→x0f(x)=a\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=ax→x0limf(x)=a。那么，对于某个正数ϵ\epsilonϵ，对于任何正数δ\deltaδ，都有0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0∣<δ时，∣f(x)−a∣≥ϵ|f(x) - a| \geq \epsilon∣f(x)−a∣≥ϵ。那么就称为x→x0x \to x_0x→x0时，f(x)f(x)f(x)的极限是a。

我们对上面的式子进行变形，可以得到，当Δx→0\Delta x \to 0Δx→0时:

lim⁡Δx→0f(x0−Δx)=f(x0+Δx)=a\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0-\Delta x)=f(x_0 + \Delta x) = aΔx→0limf(x0−Δx)=f(x0+Δx)=a

也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近x0x_0x0还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0点可导的充分必要条件就是，函数在x0x_0x0处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。

另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。

根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy在Δx→0\Delta x \to 0Δx→0时存在。即：

lim⁡Δx→0ΔyΔx=f′(x)\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)Δx→0limΔxΔy=f′(x)

我们把极限符号去掉：

ΔyΔx=f′(x)+a\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) + aΔxΔy=f′(x)+a

这里的a是Δ→0\Delta \to 0Δ→0时的无穷小，我们队上式两边同时乘上Δx\Delta xΔx，可以得到：

Δy=f′(x)Δx+aΔx\Delta y=f'(x)\Delta x + a\Delta xΔy=f′(x)Δx+aΔx

由于a和Δxa和\Delta xa和Δx都是无穷小，并且f′(x)f'(x)f′(x)存在，所以Δy\Delta yΔy也是无穷小。而连续的定义就是当Δx→0\Delta x \to 0Δx→0时，Δy\Delta yΔy也趋向于0.

反例

我们来举一个反例：

f(x)=∣x∣f(x) = |x|f(x)=∣x∣

它的函数图像长这样：

我们试着来证明：f(x)f(x)f(x)在x=0x=0x=0处不可导。

f_′(0)=∣Δx∣Δx=−1f+′(0)=ΔxΔx=1\begin{aligned} f'_\_(0)&=\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \\ f'_+(0)&=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \end{aligned} f_′(0)f+′(0)=Δx∣Δx∣=−1=ΔxΔx=1

由于f(x)f(x)f(x)在x=0x=0x=0处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以f(x)f(x)f(x)在x=0x=0x=0处不可导。

常见函数的导数

我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。

f(x)=Cf(x)=Cf(x)=C，C是常数。f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0
f(x)=xnf(x)=x^nf(x)=xn, f′(x)=nxn−1f'(x)=nx^{n-1}f′(x)=nxn−1
f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx，f′(x)=cos⁡xf'(x)=\cos xf′(x)=cosx
f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx，f′(x)=−sin⁡xf'(x)=-\sin xf′(x)=−sinx
f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax， f′(x)=axln⁡af'(x)=a^x\ln af′(x)=axlna
f(x)=log⁡axf(x)=\log_axf(x)=logax，f′(x)=1xln⁡a,(a>0,a≠0)f'(x)=\frac{1}{x\ln a}, (a > 0, a \neq 0)f′(x)=xlna1,(a>0,a=0)
f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx， f′(x)=1xf'(x)=\frac{1}{x}f′(x)=x1

当然我们实际运用当中遇到的当然不只是简单的函数，很多函数往往非常复杂。那么对于这些复杂的函数，我们又应该怎么来计算它们的导数呢？敬请期待我们下一篇的内容。

今天的文章就到这里，如果觉得有所收获，请顺手点个关注吧，你们的支持是我最大的动力。