高等数学上核心概念：谈谈导数，微分，积分之间的关系（微分篇）

接上一篇博客，导数讲完之后，来讲微分
https://blog.csdn.net/weixin_40163242/article/details/89003225

话说微分这个概念是很容易被误解的。因为它往往是和导函数在一起出现的，所以，我大一的时候，那时没怎么理解这其中的道理，因为很多题求微分的过程就是求导，所以认为微分和导数就是没什么差别的东西。这其实并不是我一个人这样误解了，很多人都是这样。这也是我们教育中比较失败的一点，为了应付考试不挂科，总是过多的去教一些换元法呀这种计算方法，而对真正的数学概念却模模糊糊，学到最后，题目会做一大堆，但别人问你什么是微分，根本搞不清楚。

【问题引入】：
你能很方便地估算出这几个值吗？

我想，如果你不知道微分，在不用计算器的情况下，是很难计算出来的吧。因此，微分此时就有了重要作用。

那么什么是微分呢？

首先，我们看这样一个经典例子，正方形薄片面积问题：
正方形薄片原面积是A = x0 ^ 2，由于热胀冷缩，边长增加了△x，问你面积增加了多少

很明显，能轻松算出，△A应该就是上面那个表达式。
这里我们注意一下，当我们的△x非常非常小的时候，（△x）^2这个量相对于
2 *x0 * △x其实是可以忽略不计的。
因为当△x趋近于0，（△x）^2是相对于 △x的一个高阶无穷小。

所以这个式子：2 *x0 * △x，才是面积增量的主要部分，又因为它是△x的线性函数，我们又称之为线性主部。因此，当△x特别小时，我们计算面积的增量，实际上就可以用近似值2 *x0 * △x来代替了！

我们把2 x0 △x称为函数y = x ^ 2在x0处的微分！记为dy|x = x0

微分定义：o（△x）是△x的一个高阶无穷小量

一般地

所以微分和导数显然不是一个东西！导数是一个极限值，一个变化率。而微分是函数因变量的增量近似值！

微分的几何意义：

通过几何意义，你应该可以更好的理解微分和导数的差别

这里很明显可以看到，微分和导数是完全不同的两个概念。一个是dy，一个是tan(a)，所以现在应该知道，将导数和微分理解为同一个东西是多么愚蠢的想法了吧！

可导和可微的关系

这里因为两者都涉及到△x，△y所以很自然的联想到它们之间会不会存在某种关系。
首先给出结论：可导是可微的充要条件！
首先证明必要性（可导可以推可微）

因为根据导数的定义
如果可导，一定有△y / △x，当△x趋近于0的时候，极限存在为A=  f,(x0)
所以，我们根据定理，可以有△y / △x = f,(x0) + o；
所以△y = f,(x0) * △x + o *△x；    （ｏ为一个无穷小）
因此，满足可微的条件式
所以可导是可以推出可微的

记下来证明充分性（可微可以推可导）

因为可微
所以△y = A* △x + o；  o是一个 △x的高阶无穷小
我们现在要推△y / △x，当△x趋近于0的时候极限存在
所以同除 △x
因此右边变为A + (o / △x)；
所以最后求得极限是A，因为o是高阶无穷小，最后(o / △x)极限为0
因此△y / △x的极限是A，极限存在
所以可微也可以推出可导！

说了这么多，那么微分到底有什么卵用呢？

还记得我们刚开始给出的那个问题吗？现在我们可以用微分的方法去解它了。
第一题过程如下：

我用计算器所得结果为

可以看到，两者计算所得到的结果是多么相近啊！误差非常的小！我们前面已经通过数学方法计算出来了，dy与△y 两者的误差仅为△x的一个高阶无穷小。

第二题我就不演示了，计算结果为9.995
计算器算得的结果：

也非常相近，真是太厉害了！

其实微分除了求近似值这种比较直接的用处之外，还有一些间接的用处呢！最典型的就是“化曲为直”的思想了

是这样的，每一个小段△x的范围，当△x趋近于0的时候，对于这一段△x上的切线的dy和曲线的△y是近似相等的。因此，不就是相当于这一段上的曲线和切线几乎重合吗？所以，在这一小段△x上，我们可以用切线来代替曲线研究问题，这就是“化曲为直”的思想了。这个思想很有意义，因为直线肯定比曲线好研究啊！

那么讲述到这里，可能有的人会问了，那不定积分和定积分中为什么会有微分的符号dx呢？至少我当初研究到这个地方来的时候，脑海里不免会有这样的疑问

不定积分中有dx的原因

这是我们一般不定积分的写法：

Ｆ（x）是f(x)的原函数。此时我们可以发现，f(x)dx不就是我们熟悉的F(x)的微分吗？此时f(x)是F(x)的导数嘛！所以我们可以写成dF(x)的形式。然后我们现在用一个积分符号 ∫ 表示，将这每一小段的微分，即每一小段一小段的小直线，给它“累加”起来，最后不就成了原函数F(x)了吗？

这个道理，网上有的网友说得很形象。dF(x)就好像是将一个大西瓜F(x)切成一小块一小块的西瓜条，然后当我们需要一整个大西瓜F(x)的时候，用一个积分符号 ∫ 就可以将一小块一小块的西瓜累积而成大西瓜了！

因此，不定积分中的dx是一定不可以少的！

定积分中有dx的原因：

因为定积分中也需要先对F(x)的微分，即dF(x) = f(x)dx，进行一次累积操作，得到原函数F(x)。因此，用到了积分符号 ∫ ，得到原函数之后，再就对原函数a, b两点处求差值。
当然，从f(x)的角度来理解，定积分就是我们熟悉的面积。

微分总结大概就是这些吧，得赶紧睡觉去了