概率论02-概率，古典概型

1. 频率的定义(Frequency)

设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，v 表示事件A在这n次试验中出现的次数(称为频数)。比值v/n称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).

频率的性质：非负性，规范性，有限可加性
频率的稳定性：当试验次数n增大时,随机事件的频率逐渐趋向稳定。

2.概率的定义

设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件A发生的频率稳定在某数p附近摆动，则称数p为事件A发生的概率 (Probability)，记为：P(A)= p

说明：
(1) 频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决定于经验. 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构, 指试验条件, 是先于试验而客观存在的.
(2) 概率的统计定义只是描述性的。
(3) 通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概率的近似值
性质：
（1）非负性，规范性，有限可加性
（2）P(∅) = 0; 概率为0的不一定是不可能事件发生的
（3）若A ∈ B，则 P ( B - A ) = P( B ) - P( A )
（4）对任意事件A和B，有 P( B - A) = P( B - BA ） = P(B) - P(BA)
（5）两事件A和B 之和的概率等于其概率之和减去积 AB的概率. 即P( A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)

3.古典概型(Classical Probability)

如果一个随机试验E具有以下特征
1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点，　　
2、每个样本点出现的可能性相同
则称具有上述特性的概型为古典概型。

古典概型中事件概率的计算：

P(A) = k/n = A中所含的样本点数 / Ω中的样本点数

说明：
（1）在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.
（2）“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.

4. 几何概型(Geometric probability)

把古典概型推广到无限个样本点又具有“等可能”场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.

如果一个试验具有以下两个特点：
1、样本空间Ω是一个大小可以计量的几何区域（如线段、平面、立体）；
2、向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可能的”。
那么，事件A的概率由下式计算：

P(A)= A的测度 / Ω的测度

研究相应的概率问题为几何概型问题

说明：
1、向区域Ω上随机投掷一点，这里“任意投掷一点”的含义是指该点落入Ω内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.
2、假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向Ω上随机投掷一点的含义如前述，则事件 A 的概率仍可用公式确定，只不过把事件的测度理解为长度或体积即可.

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