uva 10827 Maximum sum on a torus

原题：
A grid that wraps both horizontally and vertically is called a torus. Given a torus where each cell contains an integer, determine the sub-rectangle with the largest sum. The sum of a sub-rectangle is the sum of all the elements in that rectangle. The grid below shows
a torus where the maximum sub-rectangle has been shaded.

Input
The first line in the input contains the number of test cases (at most 18). Each case starts with an integer N (1 ≤ N ≤ 75) specifying the size of the torus (always square). Then follows N lines describing the torus, each line containing N integers between -100 and 100, inclusive.
Output
For each test case, output a line containing a single integer: the maximum sum of a sub-rectangle within the torus.
Sample Input
2
5
1 -1 0 0 -4
2 3 -2 -3 2
4 1 -1 5 0
3 -2 1 -3 2
-3 2 4 1 -4
3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Sample Output
15
45

中文：
同样是让你找最大子矩阵和，但是四边可以跨边相邻。
送一组数据
3
4 -3 6
-2 -4 -5
7 0 1

答案是18，也就是四个角

ac代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n,table[400][400],sum[400];
int solve()
{int ans=INT_MIN;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){memset(sum,0,sizeof(sum));for(int k=i+1;k<=n+i;k++){int tmp=0;for(int s=j+1;s<=n+j;s++){sum[s]+=table[k][s];tmp+=sum[s];ans=max(tmp,ans);}}}}return ans;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin>>t;while(t--){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){cin>>table[i][j];table[i+n][j]=table[i][j+n]=table[i+n][j+n]=table[i][j];}}int ans=solve();cout<<ans<<endl;}return 0;
}

tle代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int table[202][202];
int sum[202][202];
int tmp[202];
int n;
int SubSeq(int a[])
{int ans=INT_MIN,tmp;for(int i=1;i<=n;i++)a[i+n]=a[i];for(int k=1;k<n;k++){tmp= a[k];int s = a[k];for(int i = k+1 ;i <= n+k-1 ;i++){if( s > 0)s += a[i];elses = a[i];tmp = max(tmp , s);}ans=max(ans,tmp);}return ans;
}int solve()
{int max1 = INT_MIN;int max2 = INT_MAX;for(int s=n*2;s>n;s--){memset(sum , 0 ,sizeof(sum));for(int i = n ;i >= 1; i--){for(int j = n ;j >= 1 ;j--)sum[i][j] = sum[i+1][j] + table[s-(n-i)][j];}for(int i = n ;i >= 1 ;i--){for(int j  = n+1 ;j > i ;j--){for(int k = 1 ;k <= n ;k++)tmp[k] = sum[i][k] - sum[j][k];ans = max(ans , SubSeq(tmp));}}}return ans;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);int t;cin>>t;while(t--){cin>>n;for(int i = 1 ;i <= n ;i++){for(int j = 1 ;j <=n ;j++){cin>>table[i][j];table[i+n][j]=table[i][j];}}//    cout<<endl;cout<<solve()<<endl;}return 0;
}

思路：

可以跨边的最大子矩阵和，可以联想到环形的最大子段和。
求解环形的最大子段和的思路有两个
比如要求的数据是a[]={11,-3,7}
那么其中一种方案是把a扩展成两倍长度，变为{11,-3,7,11,-3,7}，然后每次枚举长度不超过3的最大子段和，时间复杂度为o(n^2)
另外一种方法是找到a的最小子段和，然后用a的所有和减去最小子段和就是环形的最大子段和了，挺好理解。时间复杂为o(n)

那么对于这道题，是不是可以借鉴一下求解环形最大子段和的o(n)算法的思路呢，比如求跨边最大子矩阵和，可以先求出最小子矩阵和，然后再用矩阵的总和减去？可惜方法是错误的，如下图
蓝色圈是最小子矩阵，红色圈的和是该矩阵最大子矩阵的答案。

考虑最大子段和的分治方法，可不可以利用此思想把二维矩阵分割来计算？简单的想了一下，首先需要把这个矩阵扩展出4倍来，表示成对边都相邻的情况。然后限定取和的区域大小不超过n*n来运算，时间复杂度大概是n^3logn。不过实现起来貌似很复杂，而且仅仅是个思路而已。

最后也是最粗暴的方法，直接扩展出四倍来，枚举选择区域大小不超过n*n，然后直接计算和取最大值。

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