概率论与数理统计笔记 - 古典概型;条件概率;独立性
Ch 4 - 6 古典概型;条件概率;独立性
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古典概型
(1)每次实验只有有限种可能的实验结果
(2)每次实验,各基本事件出现可能性完全相同
P(A)=A中基本事件数Ω中基本事件数=mn\large P(A)=\frac{A 中基本事件数}{\Omega 中基本事件数}=\frac{m}{n}P(A)=Ω中基本事件数A中基本事件数=nm
几何概型
P(A)=A的测度(长度、面积、体积)样本空间的测度(长度、面积、体积)\large P(A)=\frac{A 的测度(长度、面积、体积)}{样本空间的测度(长度、面积、体积)}P(A)=样本空间的测度(长度、面积、体积)A的测度(长度、面积、体积)
条件概率
设A,B为两个事件,且P(A)>0,P(B)>0,则称
P(B∣A)=P(AB)P(A),P(A)>0\large P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)},P(A)>0P(B∣A)=P(A)P(AB),P(A)>0为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。
乘法公式
设A,B是任意两个随机事件,P(A)>0, P(B)>0则
P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(A∣B)P(B)\large P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A|B)P(B)P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(A∣B)P(B)
全概率公式
设事件B1,B2,...,Bn\large B_1,B_2,...,B_nB1,B2,...,Bn是样本空间Ω的一个划分,P(Bi)>0(i=1,2,...,n)\large P(B_i)>0(i=1,2,...,n)P(Bi)>0(i=1,2,...,n),A是实验任一事件,则有
P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)\large P(A)=\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)P(A)=i=1∑nP(Bi)P(A∣Bi)
例题
| i. 美国总体患肺癌的概率为0.1%,人群中有20%抽烟者,他们患上肺癌的概率为0.4%,求不吸烟着患肺癌的概率
解:
记C为事件“患肺癌”,A为事件“吸烟”,根据题意
P(C)=0.001,P(A)=0.02,P(C∣A)=0.004P(C)=0.001,\space P(A)=0.02, \space P(C|A)=0.004P(C)=0.001, P(A)=0.02, P(C∣A)=0.004,要求P(C∣A‾)P(C|\overline A)P(C∣A),根据全概率公式有
|
| — |
贝叶斯公式
设事件B1,B2,...,Bn\large B_1,B_2,...,B_nB1,B2,...,Bn是样本空间Ω的一个划分,P(Bi)>0(i=1,2,...,n)\large P(B_i)>0(i=1,2,...,n)P(Bi)>0(i=1,2,...,n)A是实验任一事件,则有
P(Bi∣A)=P(BiA)P(A)=P(Bi)P(A∣Bi)∑i=1nP(Bj)P(A∣Bj),i=1,2,...,n\large P(B_i|A)=\frac{P(B_iA)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{i=1}^nP(B_j)P(A|B_j)},i=1,2,...,nP(Bi∣A)=P(A)P(BiA)=∑i=1nP(Bj)P(A∣Bj)P(Bi)P(A∣Bi),i=1,2,...,n
例题
i. 对以往数据分析结果表明,当机器良好时,产品的合格率为百分之98,而机器发生某一故障时,产品的合格率为百分之55,每天早上机器开动时,机器调好的概率为百分之95,已知某日早上第一件产品是合格品,试求机器调整好的概率
解:
设A为事件“产品合格”,B为事件“机器调整良好”
已知 P(A∣B)=0.98,P(A∣B‾)=0.55,P(B)=0.95,P(B‾)=0.05,所求即为P(B∣A)P(A|B)=0.98,P(A|\overline B)=0.55,P(B)=0.95,P(\overline B)=0.05,所求即为P(B|A)P(A∣B)=0.98,P(A∣B)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05,所求即为P(B∣A)
由贝叶斯公式:
P(B∣A)=P(AB)P(A)=P(A∣B)P(B)P(A∣B)P(B)+P(A∣B‾)P(B‾)P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\overline B)P(\overline B)}P(B∣A)=P(A)P(AB)=P(A∣B)P(B)+P(A∣B)P(B)P(A∣B)P(B)
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